Integral gleich der Ausgangsfunktion

20.01.2011, 15:26	TrueMG	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral gleich der Ausgangsfunktion Hussa! Wenn Sonderregeln zuschlagen, bin ich ja immer besonders starken Ohres. Erst recht weil ich dazu neige eben diese Regeln zu vergessen. Folgendes Integral liegt vor: $\begin{eqnarray} \int \! cosx e^{x} \, dx \end{eqnarray}$ Da spottet der Profi und beschließt spontan eine Partielle Integration. Zwei mal hintereinander abgefrühstückt, ein wenig zusammengefasst und wir haben (was auch richtig ist): $\begin{eqnarray} e^{x}(cosx + sinx) - \int \! cosx e^{x} \, dx \end{eqnarray}$ Und das ist der Punkt, in dem wr uns in einer konfusen Dauerschleife befinden, denn das Integral entspricht hier der Ausgangsfunktion. Jetzt greift irgendeine komische Regel, die aus all dem folgendes schreibt: $\begin{eqnarray} F(x) = \frac{e^{x}}{2} (cosx + sinx) + c \end{eqnarray}$ Was auch das Endergebnis ist, auf was ich mangels Wissen nur leider nicht komme. Meine Frage ist nun, wie sich in möglichst einfachen Worten, der vorletzte Schritt auf den Letzten argumentiert. Warum wird alles vor dem finalen Integral halbiert und das Integral selbst weggelassen? Freue mich auf Antworten Gruß [MG]
20.01.2011, 15:28	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral gleich der Ausgangsfunktion Du hast diese Gleichung: $\begin{eqnarray} \int \! cos(x) e^x \, dx = e^x * (cos(x) + sin(x)) - \int \! cos(x) * e^x \, dx \end{eqnarray*}$ Jetzt löse das mal nach dem gesuchten Integral auf.
20.01.2011, 15:29	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Am Schluss steht da (wenn man von ganz links nach ganz rechts guckt): $\begin{eqnarray} \int~\cos(x) \cdot e^x \dd x = e^x \cdot (\cos(x) + \sin(x)) - \int~\cos(x) \cdot e^x\dd x \end{eqnarray}$ Einfach das Integral auf beiden Seiten addieren und es steht schon fast da.
20.01.2011, 17:10	TrueMG	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach natürlich. Weshalb denke ich auch immer so kompliziert Ziehe ich das Integral rüber, habe ich die Ausgangsfunktion doppelt. Durch zwei dividiert - und anschließend freuen. Vielen dank auch [MG]

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