Dualraum, Dualbasis

20.01.2011, 16:02	Gosslot	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualraum, Dualbasis Meine Frage: Ich habe folgende Aufgabe gegeben: $\begin{eqnarray} f_1: \mathbb R^5 \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x_1,...,x_5) \Rightarrow 2x_1 \end{eqnarray}$ und für j = 2,...,5: $\begin{eqnarray} f_j: \mathbb R^5 \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x_1,...,x_5) \Rightarrow x_j + x_{j-1} \end{eqnarray}$ Jetzt soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} B_1 := {f_1,...,f_5} \end{eqnarray}$ eine Basis des Dualraumes des $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ ist. Desweiteren soll ich eine Basis B des $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ angeben, deren Dualbasis $\begin{eqnarray} B_1 \end{eqnarray}$ ist. Mein Problem ist, dass ich jetzt nicht sicher bin, was überhaupt der Dualraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ ist...theoretisch doch wieder $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ . Eine andere Frage wäre dann, was denn bitte schön $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ und Co. sind? Sind das 5-dimensionale Vektoren aus $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ oder vielmehr einfach Zahlen, die die Koordinaten eines Vektors darstellen??? Das wird nirgends erwähnt. Weitere Frage ist: Wenn der Dualraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ der $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ ist, dann ist die Basis $\begin{eqnarray} B_1 \end{eqnarray}$ ebenfalls eine Basis zu $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ , oder? Letzte Frage: Was genau ist die Dualbasis? Ist dies nicht einfach eine Basis des Dualraums? Oder bedeutet dies, dass ich eine Basis B habe zu $\begin{eqnarray} \mathbb R^5 \end{eqnarray}$ die ich dann mittels $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zur Basis $\begin{eqnarray} B_1 \end{eqnarray}$ machen kann? Ein einfaches Beispiel zur Klärung der Fragen wäre äußerst hilfreich. Meine Ideen:* siehe oben.
20.01.2011, 16:22	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Dualraum $\begin{eqnarray} V^ \end{eqnarray}$ eines $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraumes $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist die Menge $\begin{eqnarray} \text{Hom}(V,K) \end{eqnarray}$ , also die Menge aller linearen Abbildungen $\begin{eqnarray} V\to K \end{eqnarray}$ . In deinem Fall ist $\begin{eqnarray} K=\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V=\mathbb R^5 \end{eqnarray}$ . Also ist hier $\begin{eqnarray} (\mathbb R^5)^=\{f: \mathbb R^5\to\mathbb R\,\,:\,\, f\text{ linear}\} \end{eqnarray}$ . Ich denke mal du hast eingesehen, dass der Dualraum auch ein Vektorraum ist. Als solcher hat er natürlich eine Basis. Die erste Behauptung ist nun, dass diese angegebenen Abbildungen $\begin{eqnarray} f_1,...,f_5 \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} (\mathbb R^5)^ \end{eqnarray*}$ sind. Dazu musst du wie üblich zeigen, dass sie den ganzen Dualraum erzeugen und linear unabhängig sind.

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