Schüler und Spinde |
| 20.01.2011, 19:42 | bishop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Schüler und Spinde Der erste Schüler geht nun alle Spinde durch und macht jeden auf. Der zweite Schüler geht auch alle durch und macht jeden zweiten zu, lässt die anderen aber in Ruhe. Der dritte Schüler wird nun den Zustand jedes dritten Spindes ändern, das heisst der dritte Spind geht zu, weil er vorher offen war, aber der sechste Spind wird wieder aufgemacht, weil er vom zweiten Schüler zugemacht wurde. Allgemein also invertiert der n-te Schüler den Zustand jedes n-ten Spindes. Die Frage ist nun: Wenn es Tausend Spinde gibt und Tausend Schüler drübergehen, wieviele Spinde sind noch offen? Einerseits will ich das als Rätsel stellen, anderseits bin ich persönlich eher am Beweis der Lösung interessiert. Falls ich mit meiner Vermutung richtig liege, so sind 31 Spinde noch offen, mir ist aber nicht ganz klar warum gerade diese... gruß, bishop |
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| 20.01.2011, 22:27 | AlphaCentauri | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Schüler und Spinde mich würde intressieren, wie du auf die 31 kommst 
ich hab jetzt nur mal kurz überlegt, aber wenn ich mich nicht irre, dann bleiben die n-ten spinde, wobei n eine primzahl ist, ja definitiv offen. und bis 1000 gibt es ja 168 primzahlen. natürlich müsste man jetzt noch die spinde darauf addieren, die mehrfach "invertiert" wurden und so wieder offen stehen 
damit dürften es mehr als 31 sein, oder?! 
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| 21.01.2011, 13:31 | Fagu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich versteh dass so Der erste macht 1000 Spinde auf. Zustand: 1000 Spinde offen Der Zweite macht jeden Zweiten zu. Zustand: 500 Spinde offen Der dritte ändert jeden dritten Spind so trifft er abwechselnd auf einen geschlossenen und einen offenen Spind. Ungerade ZU Gerade AUF da 1000 nicht durch 3 teilbar ist stehen dann nach meiner Überlegung 499 Spinde offen. |
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| 21.01.2011, 14:13 | bishop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Schüler und Spinde
Das dachte ich am Anfang auch, aber es stellt sich raus, dass die primzahlen auf jedenfall immer zu sind. Nehmen wir die 17. Der erste macht die 17 auf, der 17te macht den Spind wieder zu, und da es keine weiteren Teiler gibt, wird dieser Spind nie mehr aufgemacht. Ein riesiger Tipp ist: "es sind 31, weil 32^2 > 1000"
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| 21.01.2011, 14:17 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es hat was mit der Anzahl der positiven Teiler einer natürlichen Zahl zu tun: Genau für Quadratzahlen ist diese Anzahl ungerade, für alle anderen Zahlen dagegen gerade.
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| 21.01.2011, 14:47 | bishop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und gerade an einem beweis dafür scheitere ich.... |
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| 21.01.2011, 15:02 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kann das im Rahmen der elementaren Zahlentheorie beweisen, muss dazu aber ganz schön weit ausholen. Es geht aber auch einfacher ohne diese ganze Theorie: Betrachte einfach mal die Menge alle Teiler der positiven ganzen Zahl und unterteile die in drei Teilmengen A: alle Teiler B: alle Teiler C: alle Teiler Zunächst mal zu B: Wenn eine Quadratzahl ist, dann enthält B genau eine Zahl, in allen anderen Fällen ist B leer. Was A und C betrifft, diese Mengen sind gleichmächtig, d.h. enthalten jeweils die gleiche Anzahl Teiler - warum? Ganz einfach, es gibt eine eineindeutige Abbildung zwischen A und C: Zu gibt es und umgekehrt. Klar, wie es weitergeht? |
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| 21.01.2011, 15:10 | bishop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja es geht ja nicht mehr wirklich weiter, wenn A und C gleichmächtig sind, dann hat n immer eine gerade Anzahl an Teilern, den Ausschlag macht dann nur ob B leer ist oder nicht ^^ Sehr kuhl, vielen Dank! gruß, bishop |
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| 21.01.2011, 15:39 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es, aber durch viele andere Threads gestählt wäre ich auch bei einer Entgegnung wie "Das bringt mich jetzt auch nicht weiter" gefasst geblieben - umso mehr freut mich deine Antwort.
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