Begründung, dass dies keine Fläche ist

20.01.2011, 19:47

Airblader

Begründung, dass dies keine Fläche ist

Hi,

eine kleine, freiwillige Aufgabe as dem heutigen Topologie-Blatt lässt mir keine Ruhe. Augenzwinkern

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}^2 \end{eqnarray*}$ die Kreisscheibe. Wir teilen die Kreislinie $\begin{eqnarray*} \mathbb{S}^1 = \partial \mathbb{D}^2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ gleichlange Segmente $\begin{eqnarray*} \gamma_k\colon [0,1] \to \mathbb{S}^1 \end{eqnarray*}$ , wobei ich mir die genaue Konstruktion mal erspare, da es um ein anschauliches Argument geht.
Nun sei $\begin{eqnarray*} w = w_1 \cdots w_n \end{eqnarray*}$ ein Wort über dem Alphabet $\begin{eqnarray*} a^{\pm 1}, b^{\pm 1}, \ldots \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} w_k = w_l \end{eqnarray*}$ identifizieren wir $\begin{eqnarray*} \gamma_k(t) \sim \gamma_l(t) \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} w_k = w_l^{-1} \end{eqnarray*}$ identifizieren wir $\begin{eqnarray*} \gamma_k(t) \sim \gamma_l(1-t) \end{eqnarray*}$ . Dann betrachten wir den Quotientenraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}^2 / \langle w \rangle := \mathbb{D}^2 / \sim \end{eqnarray*}$ .

Damit ist z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}^2 / \langle aa^{-1} \rangle \cong \mathbb{S}^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}^2 / \langle aba^{-1}b^{-1} \rangle \cong \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1 \end{eqnarray*}$ . Das ist soweit auch kein Problem.

Man soll nun anschaulich erläutern, warum $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}^2 / \langle aaa \rangle \end{eqnarray*}$ keine Fläche ist. Das hingegen bereitet mir Probleme, da es mir schon unmöglich erscheint, sich dieses Gebilde vorzustellen. Es scheitert daran, dass man die drei Segmente einfach nicht stetig (und damit nicht homöomorph) derart verkleben kann - wäre das dann auch bereits eine entspr. anschauliche Erklärung? Aber das ist ja eigentlich kein Argument dafür, dass es keine Fläche ist. Oder muss es darauf rauslaufen, dass mein einen Punkt auf diesem Gebilde findet, der lokal nicht hömomorph zu einer Kreisscheibe ist und ich bin gerade nur zu doof, mir dieses Gebilde vorzustellen?

Mir ist klar, dass das etwas wirr ist - ohne Bilder auch nicht ganz leicht zu erklären. Augenzwinkern

Ich hoffe, dass dennoch jemand versteht, was ich meine.

Edit: Ich glaube, dass ich doch langsam beginne, mir das Gebilde vorstellen zu können. Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich das beschreiben soll - und meine Zeichenkünste lassen zu wünschen übrig. Big Laugh

Aber es entstehen dabei sozusagen unendlich viele "Wellen" .. mhm ... echt doof zu beschreiben. Mal gucken ob ichs irgendwie gemalt bekomme Hammer

air

20.01.2011, 20:40

Airblader

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So. Hier mal ein Versuch das zu malen.
Wir starten mit der Kreisscheibe und identifizieren zunächst die drei grünen Punkte (Schritt 1). Und jeweils in der Mitte zwischen grünen Punkten sind dann die blauen, die im nächsten Schritt identifiziert werden .. man erhält dann also auch hier solche "Wellen", die zu einem Punkt unmittelbar unter dem des grünen Punkts zusammenlaufen. Und das wiederholt man nun eben bis alle Punkte am Rand identifiziert wurden, so erhält man unendlich viele solcher "Wellen".
Edit: Wobei natürlich klar ist, dass im Grenzfall nicht mehr wirklich solche Wellen überbleiben. Die Frage ist, was dann aber überbleibt.

Ich hoffe, die Idee wird klar. Vielleicht mache ichs mir aber auch zu schwer? Oder es ist gar falsch? Klärt mich auf. smile

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air

26.01.2011, 11:54

Airblader

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So, heute habe ich mal meinen Professor gefragt.
Das Ganze wird einfacher, wenn man es sich nicht global, sondern lokal anschaut, am Besten, indem man sich Simplizes bzw. Triangulierungen anschaut, wobei eigentlich ein einzelnes Dreieck schon genügt. Man kann sich dann eine Umgebung eines Kantenmittelpunktes anschauen und kommt so schnell dazu, dass dies keine 2-Mannigfaltigkeit sein kann.

Recht ähnlich hierzu ist der "Dunce hat" ( http://en.wikipedia.org/wiki/Dunce_hat_(topology) ), bei dem allerdings eine Orientierung umgeklappt wird.

air

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