Vektor-/Kräfteaddition

20.01.2011, 19:57	lyn4la	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor-/Kräfteaddition Hallihallo, ich habe gerade noch eine Vektor/Kräfte-Aufgabe, bei der ich leider nicht zur angegeben Lösugn gelange. Aus dem Punkt P = (2, 5, 5) sind Seile nach Q = (12, 20, 8) und R = (8, 14, -1) gespannt, in denen Zugkräfte wirken. Die in P resultierende Gesamtkraft von 800 N wirkt horizontal. Ermitteln Sie die Stärke der Kräfte in den beiden Seilen. Als erstes habe ich folgende Vektoren aufgestellt: $\begin{eqnarray} \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 10 \\ 15 \\ 3 \end{pmatrix}\vec{PR} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun hab ich aus dem Fakt, dass die resultierende Gesamtkraft horizontal wirkt, folgende Gleichung aufgestellt (z-Koordinate betreffend): $\begin{eqnarray} 3a - 6b = 0<br /> a = 2b \end{eqnarray}$ Nun habe ich die Beräge Vektoren (mit a skalarmultipliziert) gleich 800 gesetzt: $\begin{eqnarray} \|2a\begin{pmatrix} 10 \\ 15 \\ 3 \end{pmatrix}\| + \|a\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix}\| = a \|\begin{pmatrix} 20 \\ 30 \\ 6 \end{pmatrix}\| + \|\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ -6 \end{pmatrix}\| = a * (\sqrt{1336}+\sqrt{153}) = 800 N \end{eqnarray}$ ... anschließend das ganze nach a umstellen: $\begin{eqnarray} a = 16,35 \end{eqnarray}$ Wodurch ich nach einsetzen auf folgende Ergebnisse komme (evtl. leichte Rundungsfehler): $\begin{eqnarray} F_Q = 597,61 N F_P = 202,24 N<br /> F_Q + F_P = 800 N \end{eqnarray}$ allerdings ist in der Lösung folgendes angegeben: $\begin{eqnarray} F_Q = 623,8 N F_P = 211,1 N \end{eqnarray*}$ Für den fall, dass die in der lösung angegeben Kräfte richtig sind (wovon ich ausgehe) stellt sich mir einerseits die Frage, warum diese beiden addiert nicht 800 N ergeben und wo mein Denk/Rechenfehler ist. Vielen dank an euch
21.01.2011, 09:44	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Denkfehler ist folgender: Der Betrag einer Summe von Kraftvektoren ist nicht die Summe der Beträge, sondern der Betrag der Summe. Die 2.Vektorgleichung in deinem Beitrag müsste also richtigerweise lauten $\begin{eqnarray} \left \|2b\cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 15 \\ 3 \end{pmatrix}+ b\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ -6 \end{pmatrix}\right \|=\left \|\begin{pmatrix} 26b \\ 39b \\ 0 \end{pmatrix}\right \|=800 \end{eqnarray}$ Das führt zu b=17,07. Gemäß deinem Ansatz ergeben sich mit diesem Wert b die beiden Einzelkäfte im Seil $\begin{eqnarray} \vec F_1=2b\cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 15 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec F_2=b\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
21.01.2011, 23:03	lyn4la	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank, Problem gelöst

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