Zeigen das eine Funktion Riemann-Integrierbar ist

20.01.2011, 20:02

Ralf83

Zeigen das eine Funktion Riemann-Integrierbar ist

Servus miteinander,

ich soll untersuchen ob folgende Funktion Riemann-Integrierbar auf [0,1] ist:

$\begin{eqnarray*} f: [0,1] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \frac{1}{k}, & \mbox{falls ein } k \in \mathbb{N} \mbox{ existiert mit }x=\frac{1}{k} , \\ 1, & \mbox{sonst} . \end{cases} \end{eqnarray*}$

und zwar in dem ich für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ angebe, sodass

$\begin{eqnarray*} 0 \leq S(T_{n})-s(T_{n}) \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Als Tip ist angegeben, dass ich

$\begin{eqnarray*} T_{n} = \left\{ \frac{m}{n^2} \ | \ 0 \leq m \leq n^2, m \in \mathbb{N}\right\} \end{eqnarray*}$

als Zerlegung wählen soll. Damit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} x_i = \frac{i}{n^2} \mbox{ und } h_j = \frac{1}{n^2} \mbox{ und schliesslich } m_j = \inf_{x \in [x_i,x_{i+1}]} f(x) \mbox{ für } 0 \leq i \leq n^2, 0 \leq j \leq n^2-1 \end{eqnarray*}$

Nun ist ja

$\begin{eqnarray*} S(T)=1 \ \ \ \forall \ T \end{eqnarray*}$

Jetzt geht es also darum eine geeignete Abschätzung für $\begin{eqnarray*} s(T_{n}) \end{eqnarray*}$ zu finden. Da hab ich bis jetzt (leider erfolglos) das folgende probiert:

$\begin{eqnarray*} \mbox{Sei } f(x) \leq \frac{1}{n^2} \Rightarrow \exists k \in \mathbb{N} \ \ \ n^2 \leq k \ \ \ x = \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Davon gibt es höchstens 2 Intervalle (nämlich die ersten Beiden für n>1), also ist in $\begin{eqnarray*} n^2-2 \end{eqnarray*}$ Intervallen $\begin{eqnarray*} f(x) > \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} m_j \geq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow S(T_n)-s(T_n) = 1 - \sum_{i=0}^{n^2-1}m_i\cdot h_i \leq 1-\left(\frac{1}{n^2}\cdot \frac{1}{n^2} \cdot (n^2-2) + 0 \cdot \frac{1}{n^2} \cdot 2\right)=1-\frac{n^2-2}{n^4} \end{eqnarray*}$

Das krieg ich jedoch nicht sinnvoll gegen $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abgeschätzt. Die Lösung ist wahrscheinlich f(x) gröber abzuschätzen aber wenn ich z.B. $\begin{eqnarray*} f(x) \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ probiere, habe ich Probleme damit, die Anzahl der Intervalle in denen selbiges gilt zu ermitteln.

Weiss jemand von euch klugen Köpfen einen Rat, wie ich hier vorgehen kann?

Vielen Dank & beste Grüße,
Ralf

22.01.2011, 20:01

Raumpfleger

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RE: Zeigen das eine Funktion Riemann-Integrierbar ist

Zitat:

Original von Ralf83
$\begin{eqnarray*} f: [0,1] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \frac{1}{k}, & \mbox{falls ein } k \in \mathbb{N} \mbox{ existiert mit }x=\frac{1}{k} , \\ 1, & \mbox{sonst} . \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das heisst doch wohl, dass die Funktion für rationale Argumente die identische Funktion ist und für irrationale Argumente ist sie konstant 1. Die rationalen reellen Zahlen liegen dicht in den irrationalen reellen Zahlen, wie soll das riemannintegrabel sein?

22.01.2011, 21:00

ThomasL

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RE: Zeigen das eine Funktion Riemann-Integrierbar ist

Zitat:

Original von Raumpfleger
Das heisst doch wohl, dass die Funktion für rationale Argumente die identische Funktion ist und für irrationale Argumente ist sie konstant 1.

nein, die Funktion ist nur auf den Punkten $\begin{eqnarray*} 1/k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ die Identität.

Ein Weg, um die Untersumme $\begin{eqnarray*} s(T_n) \end{eqnarray*}$ abzuschätzen, kann vielleicht so gehen:
Sei $\begin{eqnarray*} J_i=\Bigl[ \frac{i}{n^2}, \frac{i+1}{n^2}\Bigr] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i=0,1,\cdots, n^2-1 \end{eqnarray*}$ . Schätzen wir dann das Minimum von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ über den ersten n Intervallen $\begin{eqnarray*} J_0,\cdots,J_{n-1} \end{eqnarray*}$ mit 0 ab, so ergibt sich
$\begin{eqnarray*} s(T_n)\ge \frac{1}{n^2}\sum_{i=n}^{n^2-1} \min_{x\in J_i}f(x) \end{eqnarray*}$
Die verbleibenden Intervalle $\begin{eqnarray*} J_n,\cdots, J_{n^2-1} \end{eqnarray*}$ (also $\begin{eqnarray*} n^2-n \end{eqnarray*}$ viele) enthalten noch die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Punkte $\begin{eqnarray*} 1,\frac{1}{2},\cdots, \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ...

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