Konvergenz von Dezimalbrüchen

24.11.2006, 18:11

ErRoRr-FuNCtiOn

Konvergenz von Dezimalbrüchen

Hi, ich hab hier eine Aufgabe:

Wann konvergieren zwei unendliche Dezimalbrüche $\begin{eqnarray*} k_0,k_1k_2... \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_0,m_1m_2 \end{eqnarray*}$ gegen dieselbe Zahl?

Also ein Dezimalbruch ist ja ein Bruch,dessen Nenner 10 oder eine Portenz von 10 ist!

Ich blick aber gerade die Darstellung $\begin{eqnarray*} k_0,k_1k_2... \end{eqnarray*}$ nicht. Kann also gerade gar nicht mit der Aufgabe anfangen! Kann mir da jemand schnell au die Sprünge helfen?

24.11.2006, 18:20

ErRoRr-FuNCtiOn

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sieht das dann vllt so aus: $\begin{eqnarray*} \frac{k_1*k_2*k_3*...*k_n} {10} \end{eqnarray*}$ ???
oder was meint ihr?

24.11.2006, 18:45

H4wk

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Dezimalbrüche sind einfach normale Kommazahlen.
Was mit den 10er Potenzen im Nenner ja zusammenpasst:
$\begin{eqnarray*} k_0*10^0+k_1*10^{-1}+k_2*10^{-2}...= k_0,k_1k_2... \end{eqnarray*}$

24.11.2006, 20:32

ErRoRr-FuNCtiOn

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Ich hab das jetzt mal noch anders geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \pm k_0 + \sum_{i=1}^\infty ~\frac{k_i} {10^i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pm m_0 + \sum_{i=1}^\infty ~\frac{m_i} {10^i} \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber nicht so richtig wie ich zeigen soll dass die beiden gegen dieselbe Zahl kovergieren!

24.11.2006, 21:03

Sunwater

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die konvergieren ja nicht notwendiger weise gegen die selbe Zahl, du sollst angeben wann sie das tun...

dazu als Tipp: setz dich mal mit dem Unterschied zwischen: $\begin{eqnarray*} \frac{7}{9},\frac{8}{9},\frac{9}{9} \end{eqnarray*}$ auseinander...

und damit meine ich nicht mit den Brüchen, sondern mit ihrer Dezimaldarstellung...

25.11.2006, 18:05

ErRoRr-FuNCtiOn

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okay, hab mir das mal angeschaut:

$\begin{eqnarray*} \frac{7} {9} = 0,7777777778 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =0*10^0+7*10^-1+7*10^-2+7*10^-3+7*10^-4+7*10^-5+7*10^-6+7*10^-7+7*10^-8+7*10^-9+8*10^-10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{8} {9} = 0,8888888889 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =0*10^0+8*10^-1+8*10^-2+8*10^-3+8*10^-4+8*10^-5+8*10^-6+8*10^-7+8*10^-8+8*10^-9+9*10^-10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{9} {9} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =1*10^0 \end{eqnarray*}$

Wenn man es sich dann mal so anschaut,dann sieht man, dass solange $\begin{eqnarray*} k_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist, der Dezimalbruch gegen 1 strebt!Wenn $\begin{eqnarray*} k_0 =1 \end{eqnarray*}$ ist dann strebt dieser gegen 2.

Ist das soweit richtig, hast du das damit gemeint?

Wenn ich das dann auf meinen Fall anwenden würde, dann würde es doch heißen: Die beiden Dezimalbrüche streben gegen dieselbe Zahl wenn das $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ beider Brüche gleich ist.
Ist das richtig?

26.11.2006, 11:59

Sunwater

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Zitat:

Original von ErRoRr-FuNCtiOn

Wenn ich das dann auf meinen Fall anwenden würde, dann würde es doch heißen: Die beiden Dezimalbrüche streben gegen dieselbe Zahl wenn das $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ beider Brüche gleich ist.
Ist das richtig?

die Frage kannst du dir selbst beantworten:

ist denn 1,21 das gleiche wie 1,71538 ? - dein $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ ist in beiden Fällen 1.

Es geht viel mehr um $\begin{eqnarray*} \overline{9} \end{eqnarray*}$

also fangen wir nochmal von vorne an:

wenn du jetzt zwei Zahlen hast, $\begin{eqnarray*} x = k_0 + \frac{k_1}{10} + \frac{k_2}{100} + \frac{k_3}{1000}, y = m_0 + \frac{m_1}{10} + \frac{m_2}{100} + \frac{m_3}{1000} \end{eqnarray*}$

Also zwei endliche Dezimalbrüche... - wann gilt x = y?

26.11.2006, 13:50

ErRoRr-FuNCtiOn

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es gilt x=y wenn k = m ist. oder wie soll ich das verstehen?

26.11.2006, 15:58

tar

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Zitat:

Original von Sunwater

Zitat:

kann man sagen zwei unendliche Dezimalbrüche konvergieren gegen die selbe reelle Zahl z.B. 1 wenn gilt: $\begin{eqnarray*} k_0=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_1,k_2,k_3=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_1,m_2,m_3=9 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} 1,0=0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ ?
Bzw. wenn $\begin{eqnarray*} k_0=m_0,k_1=m_1, k_2=m_2, k_3=m_3 \end{eqnarray*}$ ... ??

26.11.2006, 16:51

JKB

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Also, ich kann dir nur sagen, wie ichs gemacht hab, kann dir aber niht versprechen, ob man das so machen kann bzw. darf oder nicht!
wir hatten doch bei den anwesenheitsübungen in ana die aufgabe 2a, wo man bewiesen hat dass a~b genau dann wenn lim(a-b)=0 mit n->unendlich unter den bedingungen die dabei stehen... also hab ich gezeigt, dass die dezimalbrüche die bedingungen erfüllen und dann, dass k~m ist (schau dir mal an was bei Äquivalenzrelationen zu machen ist). wenn das alles gilt, dann haben beide den selben GW und somit ist dann lim(k-m)=0 für n-> unendlich.

das ist mein lösungsweg, durchführen musst du ihn natürlich schon noch selbst, aber ich hoffe ich konnte dir einigermaßen helfen!
grüße, julia

26.11.2006, 17:37

tim3k

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für irrationale zahlen is klar ki=mi
wenn k0,k1... rational
zb. 1,62
dann hat m0,1..=1.61999999..... denselben grenzwert oder ?

26.11.2006, 18:57

Sunwater

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Zitat:

wenn k0,k1... rational
zb. 1,62
dann hat m0,1..=1.61999999..... denselben grenzwert oder ?

genau! darauf wollte ich hinaus

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