f konvex <=> epi f konvex |
| 24.11.2006, 18:27 | ideenlos=( | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| f konvex <=> epi f konvex es gibt hier eine aufgabe auf meinem übungsblatt, und so ganz komme ich damit nicht vorran: (a) f:C->R ist genau dann konvex, wenn epi f eine konvexe Menge ist. (b) f:C->R konvex => S(f, alpha) konvex für alle alpha element R. gilt die Umkehrung? Natürlich muss man bei a beide Richtungen beweisen. Aber irgendwie komme ich bei a und b bei den Definitionen einer konv funktion und von epi f nicht weiter=( habt ihr eine idee oder so was? danke schon mal im vorraus=) |
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| 24.11.2006, 18:43 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: f konvex <=> epi f konvex Damit uns die Aufgabe klar wird, musst du zunächst definieren. Grüße Abakus 
EDIT: wie ist die Konvexität von f erklärt ? (auch hier gibt es verschiedene Möglichkeiten) |
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| 24.11.2006, 19:02 | ideenlos =( | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay, dann fange ich mal vorne an =) Also C ist nicht näher definiert. Ich gehe einfach einmal davon aus, dass es sich um eine konvexe Menge handelt? epi f ={(x,r)eCxR:r>=f(x)} d.h. mehr oder weniger alle über dem Graph, betrachtet auf einem Intervall nun a statt alpha, ist einfacher=) S(f,a)={xeC:f(x)<=a} (miveaumenge von f) und konvexität von f ist wie folgt definiert: (ich benutze l statt lamda=) ist f konvex gilt: f(lx+(1-l)y)=lf(x)+(1-l)f(y) tut mri leid, ich kann leider kein latech und co=) hoffe, du kannst damit trotzdem was anfangen=) danke |
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| 24.11.2006, 23:53 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da sollte ein "<=" stehen. Wenn C nicht konvex ist, wird die Behauptung falsch. Das könntest du zunächst überlegen. OK, du musst 2 Richtungen zeigen: Sei f konvex. Nimm dir 2 Punkte aus epi f her und zeige nun, dass auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in epi f liegt. Dazu brauchst du die Konvexitäts-Ungleichung von f. Sei umgekehrt epi f konvex. Nimm wieder Punkte des Graphen und betrachte die Verbindung dieser Punkte: diese muss in epi f liegen. Kannst du daraus was über f folgern ? Versuche das einmal zu formalisieren. Beim zweiten Teil der Aufgabe würde ich mir erstmal einige Beispielfunktionen anschauen (um rauszufinden, ob die Rückrichtung plausibel ist). Grüße Abakus
PS: Latex ist wirklich hilfreich, und macht die Formeln lesbar (versuche den Formeleditor zB). |
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