Vollständige Induktion

21.01.2011, 15:49	Stephan1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Meine Frage: Hallo, habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe: Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n folgendes gilt: $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{i=1}^n i \right)^{2} = \sum\limits_{i=1}^n i^{3} \end{eqnarray}$ Hinweis: Verwenden Sie die Formel $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n i = n(n+1)/2 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also mein Lösungsansatz war folgender: IA: passt ja mit n=1 (oder muss man hier bei 0 beginnen? Hab bei eins begonnen weil die Summe sonst von 1 bis 0 geht) IV: gilt für jedes beliebige aber feste $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ IS: $\begin{eqnarray} n \to n+1 \end{eqnarray}$ Hab dann auf der linken Seite die Formel vom Hinweis eingesetzt auf der Rechten Seite das n+1 aus der Summe gezogen: $\begin{eqnarray} \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^{2} = \sum\limits_{i=1}^n i^{3}+ (n+1)^{3} \end{eqnarray}$ Dann habe ich auf der linken Seite zuerst (n+1)(n+2) ausmultipliziert, und danach den Zähler und Nenner des Bruches Quadriert: $\begin{eqnarray} \frac{n^{4}+6n^{3}+13n^{2}+12n+4}{4} = \sum\limits_{i=1}^n i^{3}+ (n+1)^{3} \end{eqnarray}$ Da ja nach Voraussetzung gilt, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n i^{3} = \left( n(n+1)/2 \right)^{2} \end{eqnarray}$ , was ausmultipliziert $\begin{eqnarray} \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4} \end{eqnarray}$ ist, nehme ich das einfach auf der Linken und Rechten Seite raus und es bleibt über: $\begin{eqnarray} \frac{4n^{3}+12n^{2}+12n+4}{4} = (n+1)^{3} \end{eqnarray}$ Aber das kann ja nicht stimmen weil $\begin{eqnarray} n^{3}+3n^{2}+3n+1 \neq n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1 \end{eqnarray}$ Wäre dankbar wenn mir jemand sagen könnte was ich da falsch mache. Mfg Stephan
21.01.2011, 16:16	hnky	Auf diesen Beitrag antworten »
soweit ich das sehe ist alles korrekt, außer dein letzter schritt. es ist $\begin{eqnarray} (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 \end{eqnarray}$ .
21.01.2011, 16:49	Stephan1989	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhhhhhh mist was ein ärgerlicher Fehler. Danke für deine Antwort Mfg Stephan

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