Gruppeneigenschaft der Restklasse 5 mit der Addition der Quadrate

21.01.2011, 16:16

bauhaushali

Gruppeneigenschaft der Restklasse 5 mit der Addition der Quadrate

Meine Frage:
Hallo,

Ich soll die Gruppeneigenschaften von $\begin{eqnarray*} (G_{5},\circ) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a\circ b=a^{2}+b^{2} mod 5 \end{eqnarray*}$ nachweisen. Meine Frage ist, genügt mein Ansatz dafür oder muss ich noch mehr zeigen?

Meine Ideen:
Abgeschlossenheit

Ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} \forall c:c=a\circ b,c\epsilon\{0,1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$

Assoziativität $\begin{eqnarray*} a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c \end{eqnarray*}$

Ist gegeben.Da sich die Multiplikation modulo 5 assoziativ verhält, trifft dies auch auf die Addition modulo 5, ebenfalls Assoziativ, der Quadrate zu.

Neutrales Element $\begin{eqnarray*} a\circ e=e\circ a=a \end{eqnarray*}$
Es exisitiert kein neutrales Element. Damit ist die Existenz eines Inversen ausgeschlossen.

$\begin{eqnarray*} (G_{5},\circ) \end{eqnarray*}$ ist damit eine Halbgruppe

21.01.2011, 18:03

Elvis

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stimmt genau.

P.S. nachdem ein Gegenbeispiel angegeben wurde, halte ich diese Behauptung nicht mehr aufrecht. Augenzwinkern

21.01.2011, 18:11

René Gruber

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Zitat:

Original von bauhaushali
Assoziativität $\begin{eqnarray*} a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c \end{eqnarray*}$

Ist gegeben.Da sich die Multiplikation modulo 5 assoziativ verhält, trifft dies auch auf die Addition modulo 5, ebenfalls Assoziativ, der Quadrate zu.

$\begin{eqnarray*} 1\circ (0\circ 2) = 1\circ 4 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1\circ 0)\circ 2 = 1\circ 2 = 0 \end{eqnarray*}$

Teufel

21.01.2011, 18:29

bauhaushali

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Oh, das habe ich nicht gesehen. Danke für den Tipp!! Das heißt G ist lediglich ein Gruppoid weil nichtmal die Assoziativität gilt?

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