Vereinigung abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen

24.11.2006, 19:41	Toast	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen Hallo Ich hab ein riesen Denkfehler ich soll zeigen, das die Vereinigung endlich vieler abgeschlossenener Mengen wieder abgeschlossen ist. Also ich habe bis jetz schon gemacht: x,y aus Aa U Ba (das kleine a soll Abschluss bedeuten - kann leider kein Tex) dann kann man auch schreiben: x aus Aa und y aus Ba Dann wende ich an, das \|x-y\| der Radius der neuen Epilsonumgebung ist -> Dadurch kann man mit der definition schreiben x aus Ba und y aus Aa Aber wie komme ich jetz weiter, muss ja zeigen das x,y aus (AUB)a Danke Torsten
24.11.2006, 21:09	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie es aussieht habt ihr Abschluss nur über epsilon Umgebungen und nicht für allgemeinere Topologien definiert, also ist dann natürlich der Weg über die Epsilon Umgebung. Aber Dein Weg geht so nicht, Du musst zeigen das für jeder Berührpunk von $\begin{eqnarray} A \cup B \end{eqnarray}$ gilt das dieser Berührpunkt in der Vereinigung liegt. Deine Annahme ist also: Sei x ein Berührpunkt von $\begin{eqnarray} A \cup B \end{eqnarray}$ , dann existieren also zu jeder Umgebung von x y,z so das $\begin{eqnarray} y \in A \cup B, z \notin A \cup B \end{eqnarray}$ dann ist aber x ein Berührpunkt von A oder B also? edit: Noch zu deinem Beweis: Du kannst Dir nicht eine beliebige Umgebung für die Punkte x,y aus der Vereinigung wählen, Du musst zeigen das für alle Umgebungen um x,y die Bedingung gilt. Also in Deinem Fall für alle epsilon.
24.11.2006, 21:53	Toast	Auf diesen Beitrag antworten »
Also irgendwie kam ich bei deinen Schritten durcheinander, wegen der Frage, ob du nun die abgeschlossenen Mengen oder die abgeschlossene Vereinigung meinst.
24.11.2006, 22:09	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Menge M ist abgeschlossen genau dann wenn die Menge ihrer Berührpunkte in M liegen, ich nehme mir also einen Berührpunkt x von $\begin{eqnarray} A \cup B \end{eqnarray}$ her. Da x ein Berührpunkt von $\begin{eqnarray} A \cup B \end{eqnarray}$ ist existieren y,z so dass $\begin{eqnarray} y \in A \cup B, z \notin A \cup B \end{eqnarray}$ für jede Umgebung um x. Dann schau Dir mal dieses Y an das liegt entweder in A oder in B für jede Umgebung, was ist dann x in Bezug auf A,B?
24.11.2006, 23:00	Toast	Auf diesen Beitrag antworten »
aso, stimmt ok - is ja auch schon spät Ausrede such Danke

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