[Artikel] Determinante von Tridiagonalmatrizen |
21.01.2011, 17:26 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
[Artikel] Determinante von Tridiagonalmatrizen Den Beweis zum Algorithmus (Crout) findet man z.B. hier. Unter der Voraussetzung, dass die Tridiagonalmatrix strikt zeilendiagonaldominant/spaltendiagonaldominant ist, existiert eine LR-Zerlegung ohne Pivotisierung [Hauptminoren sind alle regulär]. Der Algorithmus lautet: Algorithmus zur Lösung von A = LR für Tridiagonalmatrizen (Crout) (Literatur: Numerik lin. Gleichungssysteme) Man beachte, hier hat im Gegensatz zur anderen LR-Zerlegungen die Matrix R die 1er-Diagonale. Ein kleines Beispiel Nehmen wir einmal die 3x3 Matrix: Dann lautet die LR-Zerlegung: Und verallgemeinertes Beispiel Können wir mit der Formal auch die Determinate auch für (gleiche Bauart wie ) bestimmen? Wie sehen die untere Dreiecksmatrix hat auf der Diagonalen nur 1er. Daher verleibt die Diagonale von L. Es ist. Die Berechnungsvorschrift zeigt, dass man alles auf zurückführen kann. Es ergibt sich (Induktion) allgemein: Damit ergibt sich für die Determinante: Rekursionsformel Man beweise mit vollständiger Induktion für die nxn-Matrix die Determinantenformel: Eine weitere Aufgabe findet man in LGS eindeutig lösbar oder in [Lin. Alg. I] Determinanten (Induktionsanwendung) . |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|