[Artikel] Determinante von Tridiagonalmatrizen

21.01.2011, 17:26	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
[Artikel] Determinante von Tridiagonalmatrizen Immer wieder tauchen Fragen nach Determinanten von Tridiagonalmatrizen auf. Neben der Determinante ist es bei diesen Matrizen auch interessant zu wissen, wie man ein LGS in dem sie auftreten lösen kann. Eine Möglichkeit geht mit der LR-Zerlegung der Matrix einher. Mit dieser lässt sich die Frage nach der Determinanten dann auch einfach beantworten. Den Beweis zum Algorithmus (Crout) findet man z.B. hier. Unter der Voraussetzung, dass die Tridiagonalmatrix strikt zeilendiagonaldominant/spaltendiagonaldominant ist, existiert eine LR-Zerlegung ohne Pivotisierung [Hauptminoren sind alle regulär]. Der Algorithmus lautet: Algorithmus zur Lösung von A = LR für Tridiagonalmatrizen (Crout) (Literatur: Numerik lin. Gleichungssysteme) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} l_{11} & & & \\ l_{21} & l_{22} & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & &l _{n,n-1} & l_{n,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & r_{12} & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & r_{n-1,n} \\ & & & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & & \\ a_{21} & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & a_{n-1,n} \\ & & a_{n,n-1} & a_{n,n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l_{11} = a_{11} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_{j,j+1} = \frac{a_{j,j+1}}{l_{jj}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l_{j+1,j} = a_{j+1,j} \quad j = 1,2,...,n-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l_{j+1,j+1} = a_{j+1,j+1}-a_{j+1,j}\cdot r_{j,j+1} \end{eqnarray}$ Man beachte, hier hat im Gegensatz zur anderen LR-Zerlegungen die Matrix R die 1er-Diagonale. Ein kleines Beispiel Nehmen wir einmal die 3x3 Matrix: $\begin{eqnarray} T_3=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 &-1 \\ 0&-1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann lautet die LR-Zerlegung: $\begin{eqnarray} T_3 = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ -1 & \frac{3}{2} &0 \\ 0& -1& \frac{4}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 &-\frac{2}{3} \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} \det(T_3) = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 4\cdot 3 = 4 \end{eqnarray}$ verallgemeinertes Beispiel Können wir mit der Formal auch die Determinate auch für $\begin{eqnarray} T_n \end{eqnarray}$ (gleiche Bauart wie $\begin{eqnarray} T_3 \end{eqnarray}$ ) bestimmen? Wie sehen die untere Dreiecksmatrix hat auf der Diagonalen nur 1er. Daher verleibt die Diagonale von L. Es ist. $\begin{eqnarray} l_{11} = a_{11} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l_{j+1,j+1}&&=a_{j+1,j+1}-a_{j+1,j}\cdot r_{j,j+1} = a_{j+1,j+1}-a_{j+1,j}\cdot \frac{a_{j,j+1}}{l_{jj}}<br /> &&=\frac{2l_{j,j}-1}{l_{j,j}} \end{eqnarray}$ Die Berechnungsvorschrift zeigt, dass man alles auf $\begin{eqnarray} l_{1,1} \end{eqnarray}$ zurückführen kann. Es ergibt sich (Induktion) allgemein: $\begin{eqnarray} l_{j,j}=\frac{j \cdot l_{1,1}-(j-1)}{(j-1)\cdot l_{1,1}-(j-2)} \end{eqnarray}$ Damit ergibt sich für die Determinante: $\begin{eqnarray} \det(T_n)&&=\prod_{j=1}^{n} l_{j,j} =n\cdot l_{11} -(n-1) =2n-n+1=n+1 \end{eqnarray}$ Rekursionsformel Man beweise mit vollständiger Induktion für die nxn-Matrix $\begin{eqnarray} A_{n}\left(a,b,c\right)=\left(\begin{array}{cccccc}<br /> a & b & 0 & \dots & 0 & 0\\<br /> c & a & b & \ddots & 0 & 0\\<br /> 0 & c & a & \ddots & 0 & 0\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\<br /> 0 & \text{0} & \dots & c & a & b\\<br /> 0 & 0 & \dots & 0 & c & a\end{array}\right) \in\mathbb R^{nxn} \end{eqnarray}$ die Determinantenformel: $\begin{eqnarray} \delta_{1}=a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta_{2}=a^{2}-bc \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta_{n}=a\delta_{n-1}-bc\delta_{n-2}, n>2 \end{eqnarray}$ Eine weitere Aufgabe findet man in LGS eindeutig lösbar oder in [Lin. Alg. I] Determinanten (Induktionsanwendung) .

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