Brauche Auffrischung zu Ableitungen

21.01.2011, 17:37	Obelisk	Auf diesen Beitrag antworten »
Brauche Auffrischung zu Ableitungen Ich sitze mal wieder recht Planlos vor diversen Analysis-Übungsaufgaben, und habe soebend dieses Forum entdeckt. Also möchte ich doch gleich die Gelegenheit nutzen, mein Wissen bei kompetenten Menschen aufzufrischen. Das erste Problem wäre die Ableitung folgender Gleichung: $\begin{eqnarray} y = \frac{2^{x} }{x^{2}} \end{eqnarray}$ Mein Rechenweg: Ich wende die Quotientenregel an: $\begin{eqnarray} \frac{(x2^{x-1}x^{2}) - (2^{x}2x)}{x^{4}} \end{eqnarray}$ Dann forme ich um: $\begin{eqnarray} <=> \frac{(x^{3}2^{x-1}) - (x2^{x+1})}{x^{4}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <=> \frac{(x^{2}2^{x-1}) - (2^{x+1})}{x^{3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <=> \frac{2^{x-1}}{x} - \frac{2^{x+1}}{x^{3}} \end{eqnarray}$ Jedoch komme ich nicht ansatzweise auf die Lösung $\begin{eqnarray} y = \frac{2^{x}}{x^{2}} (ln2-\frac{2}{x}) \end{eqnarray}$ Was mache ich falsch, und wie mache ich es richtig?
21.01.2011, 17:42	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Auffrischung zu Ableitungen Du kannst Exponentialfunktionen nicht so Ableiten, wie du das von Potenzfunktionen kennst. Benutze, dass $\begin{eqnarray} a^x=e^{x \cdot \ln(a)} \end{eqnarray}$ ist und Differenziere so 2^x.
21.01.2011, 17:56	Obelisk	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, vielen Dank! Das habe ich vollkommen vergessen!
21.01.2011, 18:43	Obelisk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich habe jetzt eine Weile rumgerechnet und stehe immernoch auf dem Schlauch... Differenziert man $\begin{eqnarray} 2^{x} \end{eqnarray}$ korrekt, erhält man ja $\begin{eqnarray} \frac{ln22^{x} - 2^{x}2x}{x^{4}} \end{eqnarray}$ Nur komme ich durch umformen immernoch nicht auf die Lösung. Ich glaube, ich habe ne große Denkblockade.
21.01.2011, 18:51	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hast du die Quotientenregel falsch angewendet, du hast im ersten Summanden im Zähler vergessen, mit x² zu multiplizieren.
21.01.2011, 18:58	Obelisk	Auf diesen Beitrag antworten »
Argh, nochmals danke. Auf meiner Rechnung hier ist das $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ einfach so und ohne Vorwahung von einer Zeile zur anderen verschwunden...
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21.01.2011, 19:18	Obelisk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich habe jetzt bis $\begin{eqnarray} \frac{2^{x}}{x^{2}} ln2 - \frac{2^{x+1}}{x^{3}} \end{eqnarray*}$ umformen können. Nur wie kommt man davon auf die Lösung?
21.01.2011, 20:52	Obelisk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß, dass man das, was ich erreicht habe, zu dem ergebnis hin umformen kann (im taschenrechner mit beliebigen Werten überprüft), nur habe ich keine Ahnung, wie und nach welcher Regel die Umformung korrekt ist...
21.01.2011, 22:04	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wende das Distributivgesetz an und klammere $\begin{eqnarray} \frac{2^x}{x^2} \end{eqnarray}$ aus.

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