Verbandstheorie Teilerverbände

21.01.2011, 19:23

lgrizu

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Verbandstheorie Teilerverbände

Hallo alle Zusammen,

Ich habe ein vielleicht sogar triviales Problem:

In einem Skript über Verbandstheorie habe ich folgenden Satz gelesen:

Der Teilerverband einer natürlichen Zahl n ist genau dann boolesch, wenn die Primfaktorzerlegung von n quadratfrei ist.

Der Beweis ist nicht angeführt.

Nun habe ich mir Gedanken darüber gemacht und mal versucht, das zu beweisen:

Mit inf(a,b)=ggT(a,b) und sup(a,b)=kgV(a,b) und a'=n/a 0=1 und 1=n haben wir ja nun einen Verband

Annahme:

Sei die Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} n=p_1 \cdot p_2 \cdot........\cdot p_i^2 \cdot ..... \cdot p_m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_1 \neq p_2 \neq ...... \neq p_m \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} d_1=p_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_2=p_i^2 \end{eqnarray*}$ Teiler von n, ich habe im Urin, dass es daran hapert, dass der Verband nicht komplementär ist, also schaue ich mal nach:

Es ist mit de Morgan: $\begin{eqnarray*} (ggT(d_1,d_2))'=kgV(d_1',d_2') \end{eqnarray*}$ , das führe ich zu einem Widerspruch:

Nun ist $\begin{eqnarray*} ggT(d_1,d_2)=d_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_2'=p_1 \cdot..... \cdot p_{i-1} \cdot p_{i+1} \cdot .... \cdot p_m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d_1'=p_1 \cdot p_2 \cdot........\cdot p_i \cdot ..... \cdot p_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_2'=p_1 \cdot..... \cdot p_{i-1} \cdot p_{i+1} \cdot p_m \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} kgV(d_1',d_2')=p_1 \cdot p_2 \cdot........\cdot p_i \cdot ..... \cdot p_m=d_1' \end{eqnarray*}$ .

Damit ist gezeigt, dass der Verband nicht komplementär ist.

Ich habe nun die Frage, ob da a) mal jemand drüber schauen kann, ob es b) wirklich so einfach ist und dann bin ich mir unsicher, ob ich oBdA annehmen kann, dass die Primfaktorzerlegung von n nur eine quadratische Primzahl hat, also, dass keine höheren Exponenten vorkommen und dass diese Primzahl die einzige ist, die mit einem Exponenten größer als 1 auftaucht.

Edit: Ach so, analog habe ich natürlich die Axiome nachgeprüft für eine quadratfreie Primfaktorzerlegung von n, da bin ich mir aber ziemlich sicher, es geht also nur um diese Richtung.

22.01.2011, 17:06

Roman Oira-Oira

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände

Zitat:

Original von lgrizu
Es ist mit de Morgan: $\begin{eqnarray*} (ggT(d_1,d_2))'=kgV(d_1',d_2') \end{eqnarray*}$ , das führe ich zu einem Widerspruch:

Nun ist $\begin{eqnarray*} ggT(d_1,d_2)=d_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_2'=p_1 \cdot..... \cdot p_{i-1} \cdot p_{i+1} \cdot .... \cdot p_m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d_1'=p_1 \cdot p_2 \cdot........\cdot p_i \cdot ..... \cdot p_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_2'=p_1 \cdot..... \cdot p_{i-1} \cdot p_{i+1} \cdot p_m \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} kgV(d_1',d_2')=p_1 \cdot p_2 \cdot........\cdot p_i \cdot ..... \cdot p_m=d_1' \end{eqnarray*}$ .

Hallo Igrizu,

ich meine, einen Fehler in Deinem Widerspruchsbeweis gefunden zu haben. Entsprechend Deiner Vorgehensweise und "korrigiertem Fehler" (falls ich mich nicht irre!) kommen wir nicht zu einem Widerspruch!

Ich denke, Dein Fehler liegt einfach hier: $\begin{eqnarray*} ggT(d_1,d_2)=d_2 \end{eqnarray*}$ .

Richtig wäre $\begin{eqnarray*} ggT(d_1,d_2)= ggT(p_i,p_i^2) = p_i = d_1 \end{eqnarray*}$ .

Mit den bereits von Dir berechneten Komplementen erhalten wir dann:

$\begin{eqnarray*} (ggT(d_1,d_2))'=d_1' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} kgV(d_1',d_2')=d_1' \end{eqnarray*}$ . Also kein Widerspruch!

Über de Morgen scheint sich das Ganze also nicht beweisen zu lassen!
Vorausgesetzt jedoch, daß ich mich nicht selbst vertan habe!

Ich habe momentan eine andere Idee, dies zu beweisen.

Ein Verband wird zu zu einem booleschen Verband, wenn der Verband 1. distributiv ist und 2. für alle Elemente des Verbands ein Komplement gebildet werden kann / vorhanden ist.

Ich versuch bei 2. anzusetzen, indem ich versuche, zu zeigen, daß ie Komplementbildung nicht möglich ist, in dem Fall, daß $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht quadratfrei ist.

Zuvor muß ich mir allerdings noch mal alle Einzelheiten des des Teilerverbands von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu Gemüte führen. Bei meiner Argumentation oben bin ich nämlich einfach nur Deinen Vorgaben gefolgt, ohne diese genau zu überprüfen!

Du kannst mir aber shon mal Rückmeldung geben, ob mein vermuteter Fehler tatsächlich ein Fehler ist oder nicht!

//edit $\begin{eqnarray*} ggT(p_i,p_i^2) = p_i^2 \end{eqnarray*}$ korrigiert zu $\begin{eqnarray*} ggT(p_i,p_i^2) = p_i \end{eqnarray*}$

22.01.2011, 18:39

lgrizu

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände
Distrubutivität habe ich für alle Teilerverbände nachgewiesen, da kommen wir auch zu keinem Widerspruch, ich verstehe allerdings nicht, warum $\begin{eqnarray*} ggT(p_i,p_i^2)=p_i^2 \end{eqnarray*}$ sein sollte, zumal $\begin{eqnarray*} p_i^2 \end{eqnarray*}$ doch gar kein Teiler von $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ ist. verwirrt

verwirrt

Du scheinst dich hier zu vertun, der $\begin{eqnarray*} ggT(p_i,p_i^2)=p_i \end{eqnarray*}$ , das ist definitiv so und kann auch für beliebige Primzahlen nachgewisen werden.

Mit $\begin{eqnarray*} ggT(p_i,p_i^2)=p_i^2 \end{eqnarray*}$ würde das für $\begin{eqnarray*} p_i=3 \end{eqnarray*}$ bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} ggT(3,9)=9 \end{eqnarray*}$ ist, aber das ist definitv falsch.

22.01.2011, 18:51

Roman Oira-Oira

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände

Zitat:

Original von lgrizu
ich verstehe allerdings nicht, warum $\begin{eqnarray*} ggT(p_i,p_i^2)=p_i^2 \end{eqnarray*}$ sein sollte, ...

soll es auch nicht sein - ich habe mich verschrieben!
Du hattest ja geschrieben $\begin{eqnarray*} ggT(d_1,d_2)= d_2 \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} d_2 = p_i^2 \end{eqnarray*}$ . Ich habe somit das abgeschrieben, was ich für falsch gehalten habe.

Richtig ist ja $\begin{eqnarray*} ggT(d_1,d_2) = ggT(p_i,p_i^2) = p_i = d_1 \end{eqnarray*}$ - Du hattest ja $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ geschrieben.

Und somit kommt bei mir auf beiden Seiten von de Morgan $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ heraus - also kein Widerspruch!

Ich korrigiere das oben bei mir noch!

22.01.2011, 18:58

Roman Oira-Oira

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände

Zitat:

Original von lgrizu
Du scheinst dich hier zu vertun, der $\begin{eqnarray*} ggT(p_i,p_i^2)=p_i \end{eqnarray*}$ , das ist definitiv so und kann auch für beliebige Primzahlen nachgewisen werden.

Mit $\begin{eqnarray*} ggT(p_i,p_i^2)=p_i^2 \end{eqnarray*}$ würde das für $\begin{eqnarray*} p_i=3 \end{eqnarray*}$ bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} ggT(3,9)=9 \end{eqnarray*}$ ist, aber das ist definitv falsch.

Genau!

Das ist aber auch genau dasselbe, was Du ganz oben geschrieben hast!
Ansonsten hättest Du ja keinen Widerspruch, der in Wirklichkeit garnicht vorhanden ist, erzeugen können!

Also haben wir beide denselben Fehler hingeschrieben.

22.01.2011, 19:04

lgrizu

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände
Hammer

Hammer

, jap, ist natürlich richtig, voll der Anfängerfehler.

Okay, de Morgan führt hier erst mal nicht zum Widerspruch.

Da Teilerverbände grundsätzlich Distributiv sind muss es auf alle Fälle mit der Komplementbildung zusammenhängen.

Ich mach mir da morgen noch mal Gedanken drüber, Danke erst mal, manchmal sehen vier Augen doch mehr als zwei Augenzwinkern

Augenzwinkern

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22.01.2011, 19:30

Mystic

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände
Und so gehts: Wenn n nicht quadratfrei ist, dann hat n den Teiler $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ für irgendeine Primzahl p, und p hat dann offensichtlich kein Komplement...

22.01.2011, 19:33

Roman Oira-Oira

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände

Zitat:

Original von Mystic
Und so gehts: Wenn n nicht quadratfrei ist, dann hat n den Teiler $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ für irgendeine Primzahl p, und p hat dann offensichtlich kein Komplement...

Genau das will ich zeigen (siehe oben)! Ob's dann auch noch offensichtlich ist, werden wir dann ja sehen.

22.01.2011, 19:46

Mystic

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände
Ja, ich gebe zu, es ist vielleicht nicht gut herausgekommen, was ich eigentlich sagen wollte, nämlich: Warum gleich die ganze Primfaktorzerlegung von n mit sämtlichen Primfaktoren bemühen (s. Igrizus Eingangspost), wenn die ganze Argumentation ausschließlich über einen einzigen Primteiler der Vielfachheit >1 läuft...

22.01.2011, 19:50

lgrizu

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände
Okay, ich habs, die Komplementarität wird nicht erfüllt, ich hab mir das jetzt mal am Teilerverband von 12 klar gemacht, auf die Idee häte ich auch früher kommen können, mir einfach mal nen Beispiel nehmen:

In T_12 ist ggT(2,2')=ggT(2,6)=2, nach Komplementarität müsse das aber 1 sein.

In dem Unterverband T_6, der ja quadratfrei ist, ist 2'=3 und damit ist Komplementarität erfüllt.

Jetzt hab ich das mal allgemein formuliert, und es ist noch viel einfacher geworden, diesmal hoffentlich fehlerfrei Augenzwinkern

Augenzwinkern

:

Sei $\begin{eqnarray*} n=p_1*...p_i^2*...*p_m \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} d=p_k*....*p_i*...*p_{k+l},~k, k+l \in I=\left\{1,...,m\right\} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} d_1'=p_1*...*p_{k-1}*...p_i.....*p_{k+l+1}*...*p_m \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} ggT(d_1,d_1')=p_i \end{eqnarray*}$ ungleich 1.

...Da hätte man echt früher drauf kommen können....

Edit:
@Mystic:

Ich hatte deine Beitrag nicht gelesen, aber habs nun ja, diesmal auch noch mal drüber geschaut und keinen (Anfängerfehler) gefunden.

Danke an euch beide.

22.01.2011, 20:04

Mystic

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände
Die Absorptionsgesetze sind hier sicher erfüllt - die Teilerverbände sind ja Verbände, wie der Name schon sagt - aber nicht die Komplementarität, wie du ja auch gezeigt hast...

Aber nochmals: Betrachte doch einfach nur einen Primteiler $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit der Vielfachheit > 1, denn es ja sicher gibt, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht quadratfrei ist. Für den Komplementärteiler $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ würde aber dann gelten

$\begin{eqnarray*} ggT(p,t)=1 \Rightarrow kgV(p,t)=\frac{pt}{ggT(p,t)}=pt<n \end{eqnarray*}$ (letzeres wegen $\begin{eqnarray*} t|\frac n{p^2} \end{eqnarray*}$ ), Widerspruch!

22.01.2011, 20:23

lgrizu

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände
Ja ich habe mich auch im Namen des Gesetzes vertan, ich meinte gar nicht Absorption, ich meinte das Gesetz, dass sup(a,a')=1 und inf(a,a')=0 ist, also die Bedingungen, die erfüllt werden müssen, damit Komplementarität herrscht, und damit ist der Verband nicht komplementär, jap, got it, schönen Dank noch mal.

25.01.2011, 08:01

Roman Oira-Oira

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände

Zitat:

Original von lgrizu
Jetzt hab ich das mal allgemein formuliert, und es ist noch viel einfacher geworden, diesmal hoffentlich fehlerfrei Augenzwinkern

Augenzwinkern

:

Sei $\begin{eqnarray*} n=p_1*...p_i^2*...*p_m \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} d=p_k*....*p_i*...*p_{k+l},~k, k+l \in I=\left\{1,...,m\right\} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} d_1'=p_1*...*p_{k-1}*...p_i.....*p_{k+l+1}*...*p_m \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} ggT(d_1,d_1')=p_i \end{eqnarray*}$ ungleich 1.

Ich muß doch noch einmal drauf zurückkommen - sorry!

Zuerst eine Frage - vielleicht ist es ja nur ein Schreibfehler!?!

In der ersten Zeile definierst Du $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ . Das Komplement (wovon?) gibst Du jedoch als $\begin{eqnarray*} d_1' \end{eqnarray*}$ an und bildest damit und mit $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ den $\begin{eqnarray*} ggT \end{eqnarray*}$ . Hast Du bei $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ in der ersten Zeile den Index vergessen?

Falls nein, verstehe ich die Zusammenhänge nicht!

Falls ja, ergeben sich trotzdem Unstimmigkeiten!
Ich gehe jetzt also davon aus, daß Du in der ersten Zeile definierst $\begin{eqnarray*} d_1 = p_k*....*p_i*...*p_{k+l},~k, k+l \in I=\left\{1,...,m\right\} \end{eqnarray*}$ .

Nach welchen Kriterium hast Du denn jetzt das Komplement $\begin{eqnarray*} d_1' \end{eqnarray*}$ gebildet? Es muß doch mindestens eine der Bedingungen für ein Komplement glten: entweder $\begin{eqnarray*} ggT(d_1, d_1') = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} kgV(d_1, d_1') = n \end{eqnarray*}$ . Aber mit diesem $\begin{eqnarray*} d_1' \end{eqnarray*}$ trifft ja weder das eine noch das andere zu! Oder sehe ich das falsch?

Das einzige, was ich mir noch vorstellen kann, ist, daß ich die Pünktchen vor und hinter $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} d_1' \end{eqnarray*}$ falsch interpretiere bzw. diese dort garnicht stehen sollten!?

Kannst Du mich da bitte noch aufklären - ich danke Dir!
Roman

25.01.2011, 08:12

lgrizu

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände
Genau das ist der Widerspruch, ich habe d'=n/d benutzt und dann gezeigt, dass dies kein Komplement ist, den Indize hab ich vergessen, stimmt.

25.01.2011, 08:13

Roman Oira-Oira

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände

Zitat:

Original von Mystic
Für den Komplementärteiler $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ würde aber dann gelten

$\begin{eqnarray*} ggT(p,t)=1 \Rightarrow kgV(p,t)=\frac{pt}{ggT(p,t)}=pt<n \end{eqnarray*}$ (letzeres wegen $\begin{eqnarray*} t|\frac n{p^2} \end{eqnarray*}$ ), Widerspruch!

Dein Beweis ist schön übersichtlich!
Ich komme jedoch nicht darauf, wie ich $\begin{eqnarray*} t|\frac n{p^2} \end{eqnarray*}$ begründen könnte.
Deshalb verwende ich diese garnicht in meiner Version des Beweises, sondern schließe am Anfang aus $\begin{eqnarray*} ggT(p,t) = 1 \end{eqnarray*}$ , daß $\begin{eqnarray*} p |\!\!/ t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p^2 |\!\!/ t \end{eqnarray*}$ . Ansonsten wäre $\begin{eqnarray*} ggT(p,t) = p \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} ggT(p,t) = p^2 \end{eqnarray*}$ . Diese Folgerungen verwende ich dann am Schluß, um $\begin{eqnarray*} pt < n \end{eqnarray*}$ sicherzustellen.

Ist daran irgendetwas auszusetzen?

25.01.2011, 08:40

Mystic

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände

Zitat:

Original von Roman Oira-Oira
[quote]Original von Mystic
Deshalb verwende ich diese garnicht in meiner Version des Beweises, sondern schließe am Anfang aus $\begin{eqnarray*} ggT(p,t) = 1 \end{eqnarray*}$ , daß $\begin{eqnarray*} p |\!\!/ t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p^2 |\!\!/ t \end{eqnarray*}$ . Ansonsten wäre $\begin{eqnarray*} ggT(p,t) = p \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} ggT(p,t) = p^2 \end{eqnarray*}$ . Diese Folgerungen verwende ich dann am Schluß, um $\begin{eqnarray*} pt < n \end{eqnarray*}$ sicherzustellen.

Ist daran irgendetwas auszusetzen?

Nein, daran ist natürlich nichts auszusetzen, schon deshalb, weil deine Argumentation ja im Wesentlichen diesselbe ist... Ich würde formal in einem Lehrbuch so argumentieren

$\begin{eqnarray*} t|n = p^2 \frac n{p^2} \wedge ggt(t,p^2)=1 \Rightarrow t|\frac n {p^2} \end{eqnarray*}$

also das sog. Euklidsche Lemma ("Teilt eine Zahl ein Produkt und ist zu einem der Faktoren teilerfremd, so teilt sie dann den anderen Faktor") verwenden, aber wegen $\begin{eqnarray*} p \not | t \end{eqnarray*}$ ist auch so klar, dass in $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gegenüber $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mindestens die Potenz $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ "fehlt", ich kann also guten Gewissens aus $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ den Faktor $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ entfernen, ohne dass die Teilbarkeitsbeziehung $\begin{eqnarray*} t|n \end{eqnarray*}$ dadurch gestört wird...

25.01.2011, 08:43

Roman Oira-Oira

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände
@Mystic

"Euklidsches Lemma" - man lernt nie aus!
Danke für die Antwort!

25.01.2011, 09:32

Roman Oira-Oira

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände

Zitat:

Original von lgrizu
Genau das ist der Widerspruch, ich habe d'=n/d benutzt und dann gezeigt, dass dies kein Komplement ist, den Indize hab ich vergessen, stimmt.

Ah, jetzt ist es klarer!
Jetzt mußt(!) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du mir nur noch zustimmen, daß es besser gewesen wäre zu schreiben $\begin{eqnarray*} d_1'=p_1*...*p_{k-1}*p_i*p_{k+l+1}*...*p_m \end{eqnarray*}$ .

Die Pünktchen direkt vor und nach $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ haben mich nämlich immer dazu verleitet, nach $\begin{eqnarray*} p_{k-1} \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} p_k*p_{k+1}* \ldots *p_{i-1} \end{eqnarray*}$ zu lesen! Und hinter $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} p_{i+1}* \ldots *p_{k+l}. \end{eqnarray*}$ .

Und nun kann ich auch $\begin{eqnarray*} ggT(d_1,d_1') = p_i \end{eqnarray*}$ einsehen, was ich vorher, wegen der vermuteten zusätzlich Teiler nicht einsehen konnte.

Es ist schon ein Kreuz mit den Indices! unglücklich

unglücklich

Ich hoffe, ich habe jetzt nicht selbst schon wieder Fehler eingebaut - aber darauf brauchst Du dann nicht mehr einzugehen! Dein Beweisprinzip habe ich nun verstanden!

Das schöne an Deinem Weg ist, daß Du ein "konkretes" $\begin{eqnarray*} d_1' \end{eqnarray*}$ konstruiert hast, für das $\begin{eqnarray*} ggT(d_1,d_1') \neq 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Im Beweis von Mystic wird nur ein nicht näher definiertes $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ als vermeintliches Komplement angenommen, um aus dieser Annahme einen Widerspruch zu konstruieren.

Ich werde nun Ruhe geben!
Aber ich bin nun mal ein alter Formalist und Pedant! Wink

Wink

25.01.2011, 09:49

lgrizu

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RE: Verbandstheorie Teilerverbände
Ist schon richtig, man sollte sich unmißverständlich ausdrücken, hab da nen bissel geschlurt Augenzwinkern

Augenzwinkern

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