Summen von Reihen

21.01.2011, 22:29

MaFilius

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Summen von Reihen

Ich soll Summen von 2 Reihen berechnen:

1.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2} +kn}, k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

ist für 1. folgene Berechnung richtig?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} +... = \end{eqnarray*}$ (Zwischenschritt mit Produkten, wobei ich hier allerdings das Produktzeichen vermisse und bringen auf den Hauptnenner (n+1)! = $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{(n+1)!} = 1 \end{eqnarray*}$

Für 2.):
fehlt mir ehrlich gesagt ein Ansatz. Wäre glücklich, wenn ihr mir da nen Tip geben könntet.

Gruß,
MaFilius

21.01.2011, 22:34

tmo

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Bei der ersten Summe ist zumindest der Reihenwert 1 richtig.

Die zweite Summe ist eine Teleskopsumme. Genau wie die erste übrigens auch. Man muss es nur erkennen smile

smile

22.01.2011, 13:45

MaFilius

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ist

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$

da als ergebnis richtig oder habe ich was übersehen? kommt mir nämlich irgendwie so simpel vor...

22.01.2011, 13:47

Gast0012

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Kann man denn die erste Summe so umformen?:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1!}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{n!(n+1)}= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{(n-1)!n(n+1)}= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-1)!(n+1)} \end{eqnarray*}$
Nur leide komme ich immer noch nicht auf eine Teleskopsumme....

22.01.2011, 13:53

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von MaFilius
ist

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$

da als ergebnis richtig oder habe ich was übersehen? kommt mir nämlich irgendwie so simpel vor...

In der Tat! Das ist nämlich falsch.

Betrachte die Reihe doch zunächst mal für ganz konkrete k-Werte (etwa k=1 und vielleicht nocht k=2), dann sollte der Groschen fallen.

22.01.2011, 13:55

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von Gast0012
Kann man denn die erste Summe so umformen?:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1!}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{n!(n+1)}= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{(n-1)!n(n+1)}= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-1)!(n+1)} \end{eqnarray*}$
Nur leide komme ich immer noch nicht auf eine Teleskopsumme....

Das kann man schon - nur bringt das nichts.

Betrachte mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1!}=\frac{(n+1)-1}{n+1!} \end{eqnarray*}$

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22.01.2011, 14:41

Gast0012

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Sooo danke für den Tipp, ich konnte allerdings was damit anfangen:
(Ich schreibe ohne Summenzeichen erstmal, ist einfacher)
$\begin{eqnarray*} \frac{(n +1)-1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{1!+2!+...(n-1)!+n!+(n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} -\frac{1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$
So und das letzte ist dann meine Teleskopsumme:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^N \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} =\frac{1}{N!} - \frac{1}{0!} = \frac{1}{N!} - 1 \end{eqnarray*}$ und das geht gegen 1.
Stimmt?

22.01.2011, 14:48

Manni Feinbein

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In beiden Zeilen stimmt zwar jeweils das Ergebnis aber unterwegs passieren schlimme Rechenfehler!

22.01.2011, 14:49

Gast0012

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Könntest du sie mir erläutern bitte?

22.01.2011, 14:52

Manni Feinbein

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Die beiden folgenden Rechnungen sind stark verbesserungsfähig!

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{1!+2!+...(n-1)!+n!+(n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^N \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} =\frac{1}{N!} - \frac{1}{0!} \end{eqnarray*}$

22.01.2011, 15:06

Gast0012

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Ja sicher bei der ersten Gleichheit habe ich richtig gedacht, falsch aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+1)!} =\frac{n+1}{1+2+3+....+(n-1)+n+(n+1)}- \frac{1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$
Hmmm bei der zweiten weiß ich nicht genau..

22.01.2011, 15:18

Gast0012

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Mhm also im Bruch muss + durch * ersetzt werden.
Nicht mein Tag heute.

22.01.2011, 20:10

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von Gast0012
Hmmm bei der zweiten weiß ich nicht genau..

Mann, Mann, Mann...

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N\left( \frac 1{n!} - \frac 1{(n+1)!}\right) =\sum_{n=1}^N \frac 1{n!}-\sum_{n=2}^{N+1} \frac 1{n!}=\ldots \end{eqnarray*}$

23.01.2011, 18:13

Lisa1391

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$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{n!} - \frac{1}{(N+1)!} \end{eqnarray*}$ ist doch nach Umwandlung (Teleskopsumme) $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{(N+1)!} oder? \end{eqnarray*}$

und n Fakultät konvergiert gegen unendlich für N gegen unendlich, also konvergiert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(N+1)!} \end{eqnarray*}$ gegen Null und die reihe gegen 1?

23.01.2011, 18:17

GastMathe

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Setz' doch mal "obere"/untere Grenze in die Teleskopsumme ein ...

23.01.2011, 18:32

Lisa1391

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Du meinst:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{1!} - \frac{1}{(1+1)!} = 1 - \frac{1}{2} ? \end{eqnarray*}$

Hab den oberen Beitrag nochmal verbessert...

23.01.2011, 22:29

GastMathe

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Du hast es im obigen Beitrag richtig verbessert, die obere Grenze war ja N (Partial) und die untere Grenze 1, und das Ding mit der Fakultät im Nenner geht ja gegen 0.

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