Lebesgue-Integrierbarkeit - Fubini gilt trotzdem nicht

21.01.2011, 22:42	Nablaquabla	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgue-Integrierbarkeit - Fubini gilt trotzdem nicht Hallo, Ich sitze gerade an einer Lebesgue-Aufgabe. Folgendes: Gegeben ist eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ , und ich soll zeigen dass der Satz von Fubini NICHT gilt, und dass sie trotzdem bezüglich x und y Lebesgue-Integrierbar ist. $\begin{eqnarray} $f(x,y):\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $(x,y)\mapsto \begin{cases} \frac{x-y}{(x+y)^3} & \text{für} \ x>0 \ \text{und} \ y<1 \\ 0 & \text{Sonst}\end{cases}$ \end{eqnarray}$ Ich soll also zeigen, dass $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}^1} \! f(x,y) \, dL^1x \end{eqnarray}$ existiert, und dass $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}^1} \! \left(\int_{\mathbb{R}^1} \! f(x,y) \, dL^1y\right) \, dL^1x \neq \int_{\mathbb{R}^1} \! \left(\int_{\mathbb{R}^1} \! f(x,y) \, dL^1x\right) \, dL^1y \end{eqnarray}$ Also der Satz von Fubini nicht gilt. Das Problem lässt sich anscheinend darauf zurückführen, 1.) Die Lebesgue-Integrierbarkeit bzgl. $\begin{eqnarray} dL^1y \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} dL^1x \end{eqnarray}$ zu zeigen. Da weiss ich aber schon nicht mehr weiter: Ich kenne keine Funktion mit kompaktem Träger, die f approximiert, und f ist auch keine Linearkombi von L-integrb.Fktionen, und ich hab auch keine Folge von L-integb.-Fktionen, die gegen f geht,... Ich habe alle Sätze von BeppoLevi bis Lebesgue abgeklappert, ich finde nix brauchbares, um dieses zu zeigen. 2.) Die Funktion selber ist ja nicht Lebesgue-integrierbar, sonst würde der Fubini gelten. Um die Ungleichheit zu zeigen, reicht es ja die beiden Integrale auszurechnen, und die Ungleichheit zu beweisen. Darf ich dann hier ganz normal integrieren (über den Träger vonf), wenn ich in 1) die Integrierbarkeit einzeln gezeigt habe? Vielen Dank
22.01.2011, 12:12	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zum einen kannst du die beiden Integrale ganz normal ausrechenen und zeigen, dass nicht das gleiche rauskommt. Dies ist sicher kein Widerspruch zu Fubini, sondern es fehlen irgendwelche Voraussetzungen. Weißt du welche? Hast du schon nachgewiesen, dass die Funktion L-integrierbar ist?

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