Vektoraufgabe - Abweichung Ergebnis wodurch?

21.01.2011, 23:01

lyn4la

Vektoraufgabe - Abweichung Ergebnis wodurch?

Hey Leute,

ich habe wieder einmal eine (Problem)Vektoraufgabe. Gelöst habe ich sie - allerdings weicht mein Ergebnis um den Faktor 3 von der angegeben ab - Es wäre schön, wenn ihr mir etwaige Denk- und Rechenfehler aufzeigen könnt smile

Von P = (22, 16) gehen Seile nach A = (4, 28), B = (10, 0), C = (40, 38) und zu einem Punkt D auf der Gerade x - 5y = 1. In den Seilen A und B wirken Zugkräfte 150N und 250N entsprechend. Die Seile nach C und D sollen diese gerade kompensieren. Wo auf der genannten Geraden muss man D plazieren, damit im Seil nach C gerade 190 N wirken?

Lösungs(ansatz):
1) Vektoren von P zu den entsprechenden Punkte bilden:
$\begin{eqnarray*} \vec{PA} = \begin{pmatrix} -18 \\ 12 \end{pmatrix} \vec{PB} = \begin{pmatrix} -12 \\ -16 \end{pmatrix} \vec{PC} = \begin{pmatrix} 18 \\ 22 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
2) Um den Vektor PD zu erstellen, habe ich vorher aus der gegeben Gleichung einen Vektor erstellt:
$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{5}x - \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{g} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{5} \end{pmatrix} || \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + a\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
3) resultierende Kraft für die Vektoren PA und PB errechnen (Nach meiner Überlegung müsste die resultierende Gesamtkraft von PA und PB gleich der resultierenden aus PC und PD sein):
$\begin{eqnarray*} |\vec{PA}| = \sqrt{468} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |\vec{PA}| = \sqrt{400} = 20 \end{eqnarray*}$
4) Gesamtkraft 1 errechnen:
$\begin{eqnarray*} |\frac{150}{|\vec{PA}|}\vec{PA} + \frac{250}{|\vec{PB}|}\vec{PB}| = 298,59 \end{eqnarray*}$
5) Gleichsetzen mit resultierender Gesamtkraft 2:
$\begin{eqnarray*} 298,59 = |\frac{190}{|\vec{PC}|}\vec{PC} + \vec{PD}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 298,59 = |\begin{pmatrix} 120,32 \\ 147,05 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -21 + 5b \\ -16 + b \end{pmatrix} | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = b^2 + 48,286 - 2389,13 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2 = 30,37 \end{eqnarray*}$
6) einsetzen, in Vektor g:
$\begin{eqnarray*} \vec{D} = \begin{pmatrix} 151,85 \\ 30,37 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Als Lösung ist allerdings D = (51,8 / 10,2) angeben, welcher allerdings etwa genau ein drittel meines errechneten Wertes ist. Falls - kein Zufall - wie kommt der Faktor 3 zu stande? Gibt es zwischendurch "Abkürzungen" habe ich grobe Denkfehler gemacht?

Vielen dank an euch wiedermal smile

// Edit ... ich glaube ich habe "einen" Fehler gefunden? Und zwar müsste die Gegenkraft ja genau in die entgegengesetzte Richtung gehen was bei mir nicht der Fall ist? ...

22.01.2011, 11:49

Reksilat

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RE: Vektoraufgabe - Abweichung Ergebnis wodurch?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 298,59 = |\frac{190}{|\vec{PC}|}\vec{PC} + \vec{PD}| \end{eqnarray*}$

Du setzt hier die Kraft, die am Punkt D wirkt, ja mit der Länge des Seils gleich. Das ist Quatsch, das machst Du ja bei den anderen Seilen schließlich auch nicht.
Außerdem reicht es nicht, die Kräfte gleichzusetzen, auch die Richtung ist hier wichtig. (Bei so was ist eine Skizze immer sinnvoll)
In Richtung D wirkt die Kraft $\begin{eqnarray*} \alpha\cdot \frac{\vec{PD}}{|\vec{PD}|} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist die Stärke der Kraft und durch den Parameter $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ bestimmst Du die Richtung.

Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte. smile

Gruß,
Reksilat.

23.01.2011, 11:12

lyn4la

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Vielen Dank smile

Das mit der Richtung habe ich da wohl vernachlässigt. Folgendes müsste auch zur Lösuing führen, oder?:

Die Kräfte PA und PB sollen durch die Kräfte PC und PD kompensiert werden:
$\begin{eqnarray*} 0 = |a\vec{PA} + b\vec{PB} - c\vec{PC} - d\vec{PD}| \end{eqnarray*}$
Allerdings ist mir gerade unklar, wie ich hier 2 Gleichungen erhalten? (habe ja einerseits durch den unbestimmten Punkt D eine Variable und durch die Länge des Seils die 2. [Richtung ist hier ja durch den Vektor gegeben])

Liebe Grüße & Danke wieder einmal!

23.01.2011, 13:15

Reksilat

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0 = |a\vec{PA} + b\vec{PB} - c\vec{PC} - d\vec{PD}| \end{eqnarray*}$

Wieso packst Du denn da Betragsstriche hin?
Es handelt sich einfach um eine Vektorgleichung und da gibt es eben für jede der beiden Komponenten eine Gleichung.

23.01.2011, 15:17

lyn4la

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... stimmt, war ein Denkfehler, die Kräfte müssen ja garnicht gleich sein, da so ja wieder die Richtung vernachlässigt wird.

Dann hier mein Rechenweg:
gegeben:
P = (22, 16)
A = (4, 28),
B = (10, 0)
C = (40, 38)

$\begin{eqnarray*} x - 5y = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{5}x - \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

D = (x, f(x))

$\begin{eqnarray*} \vec{PA} = \begin{pmatrix} -18 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{PB} = \begin{pmatrix} -12 \\ -16 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{PC} = \begin{pmatrix} 18 \\ 22 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{PD} = \begin{pmatrix} x - 22 \\ \frac{1}{5}x - \frac{111}{5}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\vec{PA}+b\vec{PB}-c\vec{PC}=d\vec{PD} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \frac{150}{\sqrt{468}} = 6,934 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = \frac{250}{\sqrt{400}} = 12,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c = \frac{190}{\sqrt{808}} = 6,684 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -18a - 12b - 18c = xd - 22d 12a - 16b - 22c = \frac{1}{5}xd - \frac{111}{5}d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -395,124 = xd - 22d -263,84 = \frac{1}{5}xd - \frac{111}{5}d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = 10,383 x = -16,054 y = -3,411 \end{eqnarray*}$
a
In der Lösung ist allerdings D = (51,8 / 10,2) angegeben. Würde mich freuen, wenn jemand kurz nachrechnen könnte & mir den Fehler zeigen könnte (Hoffe ist nichts allzu schwerwiegendes?) - Vielen, vielen Dank smile

23.01.2011, 16:18

Reksilat

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Ein Fehler ist, dass $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{5}-16=-\frac{81}{5}\neq -\frac{111}{5} \end{eqnarray*}$ ist.

Der entscheidende Fehler ist aber das Vorzeichen. Die Summe aller Kräfte muss Null sein, bzw. die Kraft, die in A und B wirkt, ist genau entgegengesetzt zur Kraft in C und D.

23.01.2011, 16:39

lyn4la

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Oh, ja *ups*

Zu der anderen Sache, ist die entgegengesetzte Gleichheit nicht durch $\begin{eqnarray*} a\vec{PA} + b\vec{PB} = c\vec{PC} + d\vec{PD} \end{eqnarray*}$ ausgedrückt? Oder gibt es da einen Unterschied zu meiner Umstellung $\begin{eqnarray*} a\vec{PA} + b\vec{PB} - c\vec{PC} = d\vec{PD} \end{eqnarray*}$
... oder stehe ich grad' vollkommen auf dem Schlauch und der Ansatz ist Blödsinn?

// alles klar ... war Blödsinn - ich rechne und melde mich dann nochmal smile

Liebe Grüße

23.01.2011, 16:44

Reksilat

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Also wenn A und B irgendwie "nach rechts" ziehen und C und D das ausgleichen sollen, dann müssen C und D "nach links" ziehen.
Die Kräfte wirken also in entgegengesetzte Richtung und haben ein unterschiedliches Vorzeichen.

Außerdem habe ich ja oben geschrieben, dass die Summe aller Kräfte sich aufhebt.
Die Summe ist nicht A+B-C-D, sondern A+B+C+D.

Gruß,
Reksilat.

Edit: Viel Spaß beim Rechnen. smile

23.01.2011, 16:52

lyn4la

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alles gut, alles schön - komme auf die richigen Werte! smile

Dankeschön, auch wenns ne schwere Geburt war

Liebe Grüße

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