Ermittlung der mittleren Auftretenshäufigkeit eines Ereignisses (mit Nebenbedingung)

22.01.2011, 00:44

benford

Ermittlung der mittleren Auftretenshäufigkeit eines Ereignisses (mit Nebenbedingung)

Hallo zusammen!

Kurze Problembeschreibung:

1. Gegeben seien hinreichend viele, direkt aufeinanderfolgende Zeitintervalle t(n); die Länge der Intervalle kann entweder t=0,75 (Ereignis A) oder t=1 (Ereignis B) betragen.

2. Eine in t(n) konstante Zufallsgröße c={0-1} "entscheidet" zu Beginn eines jeden Intervalls über den Eintritt von Ereignis A oder B nach folgendem Modus:

- Mit P(c) werden die nächsten 3 Intervalle auf Ereignis A festgelegt
- Mit P(1-c) wird das nächste Intervall auf Ereignis B festgelgt

3. Ein einmal festgelegtes Ereignis lässt sich nicht mehr rückgängig machen. Sollte also in t(0) für t(0) - t(3) Ereignis A ausgewürfelt werden, wird zwar zu Beginn t(1) wieder gewürfelt, es ändert sich jedoch - auch im Falle eines Wurfes für Ereignis B - nichts mehr an der Zuordnung von t(1) zu Ereignis A. Eine Zuordnung von Ereignis B ist demnach erst zu Beginn t(3) möglich - vorausgesetzt in t(1 u./o. 2) wurde Ereignis A nicht verlängert.

Mein Problem ist nun, dass ich nicht dahinterkomme, wie ich aus den gegebenen Daten und in Abhängigkeit der Zufallsgröße c die mittlere Auftretenswahrscheinlichkeit des Ereignisses A (bzw. B) im Verhältnis zur Gesamtzahl der Ereignisse ermittle. Um daraus dann letztlich berechnen zu können, wie groß die Zufallsgröße c sein muss, damit Ereignis A einen Zeitanteil von 90% oder 95% am Gesamtzeitraum einnimmt.

Wenn jemand eine Idee für einen Lösungsansatz hat oder ein Lösungsverfahren empfehlen kann (oder das Ganze gerne auch erstmal in eine Gruppe von Wahrscheinlichkeitsproblemen einordnet) - würde mich sehr freuen!

Viele Grüße

22.01.2011, 08:15

René Gruber

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Deine Bezeichnungsweise finde ich schlecht:

Du verwendest die Bezeichnungen A und B in doppelter Bedeutung: Einmal für das Würfeln, und dann aber wieder für die Intervalle, deren Festlegung sich aber aus mehreren dieser Würfelereignisse ergibt. unglücklich

Ich verwende die Bezeichnungen A,B daher im folgenden nur fürs Würfeln:

Ab dem dritten Intervall kommt der zweite Intervalltyp t=1 kommt genau dann zum Zuge, wenn unmittelbar vorher dreimal hintereinander B gewürfelt wurde - in allen anderen Fällen ist es Intervalltyp t=0,75. Also kommt Intervalltyp t=1 im Mittel mit Wkt $\begin{eqnarray*} (1-c)^3 \end{eqnarray*}$ dran.

22.01.2011, 13:31

benford

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Okay, die Bezeichnung mag schlecht gelungen sein. Dann übernehme ich einfach deinen Vorschlag, d.h. das Ergebnis des Würfelns am Anfang jedes Intervall ist:

A mit der Wahrscheinlichkeit c
B mit der Wahrscheinlichkeit (1-c)

und die Intervalle, die sich nach oben beschriebenem Modus aus dem Eintritt von A bzw. B ergeben, nenne ich ganz einfach $\begin{eqnarray*} I_{A} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} I_{B} \end{eqnarray*}$ .

Einen ähnlichen Gedankengang wie du hatte ich auch schon, allerdings eher um einen groben Anhaltspunkt über die Größenordnung von c zu erhalten. Ich hatte mir überlegt, wie groß c sein muss, um nur mit einer 5%-igen Wahrscheinlichkeit einen in $\begin{eqnarray*} t_{n} \end{eqnarray*}$ etablierten 3er-Block $\begin{eqnarray*} I_{A} I_{A} I_{A} \end{eqnarray*}$ schon nach dem 3. Intervall wieder abbrechen zu lassen. Vorausetzung dafür ist, dass zu Beginn der Intervalle $\begin{eqnarray*} t_{n+1}, t_{n+2}, t_{n+3} \end{eqnarray*}$ jeweils B mit P(1-c) gewürfelt wird.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{0,05} = 1 - c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=0,632 \end{eqnarray*}$

Ich weiß also, dass bei c = 63,2% über einen langen Zeitraum betrachtet im Mittel 5% der Intervallblöcke $\begin{eqnarray*} I_{A} I_{A} I_{A} \end{eqnarray*}$ keine Verlängerung erfahren.

Ich möchte aber den langen Zeitraum betrachten und 95% Intervalle $\begin{eqnarray*} I_{A} \end{eqnarray*}$ sehen. Das ist ja keinesfalls gleichzusetzen. Im Beispiel oben gehe ich ja garnicht darauf ein, wieviel Intervalle es im Schnitt dauert um $\begin{eqnarray*} I_{A} \end{eqnarray*}$ ersteinmal bzw. wieder in Gang zu setzen. Auch lässt sich c sicher niedriger ansetzen, da bei c = 63,2% immerhin 95% der Intervallblöcke $\begin{eqnarray*} I_{A} I_{A} I_{A} \end{eqnarray*}$ um mindestens ein Intervall $\begin{eqnarray*} I_{A} \end{eqnarray*}$ verlängert wird.

Das müsste ich ja mit einbeziehen. Aber wie? verwirrt

23.01.2011, 17:48

René Gruber

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Zitat:

Original von benford
Ich möchte aber den langen Zeitraum betrachten und 95% Intervalle $\begin{eqnarray*} I_{A} \end{eqnarray*}$ sehen. Das ist ja keinesfalls gleichzusetzen.

Doch, das ist es: Aufeinander folgende $\begin{eqnarray*} I_A \end{eqnarray*}$ sind zwar nicht unabhängig, was aber für den Erwartungswert ihres Auftretens (also gemeint ist die zugehörige Indikatorfunktion) keine Rolle spielt!

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