Kreisbogen

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22.01.2011, 02:21	gast51	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreisbogen Hallo, anbei ein Bild und folgende Aufgabe: A.)<< In den folgenden Figuren sollen die auftretenden Kreisbogen alle den gleichen Radius haben. Ziegen sie, dass die Figuren flächeninhaltsgleich sind >> b.) << Welche (unterschiedlichen?) Umfänge haben die Figuren>> Die einzige Idee die mir bei der Aufgabe kommt ist, dass man ein Quadrat um die jeweilige Figur zieht, die ja ja jeweils einen Länge von r (radius) haben. Aber wie kommt man auf die flächengleichheit bzw. die Umfänge??? Danke im voraus liebes matheboard
22.01.2011, 04:32	Roman Oira-Oira	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbogen a.) Wenn Du dies berechnen, und nicht nur umgangssprachlich begründen, sollst, dann berechne doch einfach die Fläche eine der von Dir in einem kleinen Quadrat liegenden schwarz schraffierten Figuren über einem Kreisbogen und multipliziere diese Fläche mit 4. Du hast ja in jeder Zeichnung 4 mal dieselbe schwarz schraffierte Fläche. b.) Der Umfang einer Figru ist ja eigentlich nichts anderes, als die zu einander addierten Längen der Begrenzungslinien der Figur. Die Figur in Zeichnung 1) besteht z.B. nur aus Kreisbögen. Es genügt hier also zunächst die Länge eines dieser Kreisbögen zu berechnen. Wieviele die Kreisbögen bilden diese Figur? In der Figur der 2. Zeichnung hast Du zusätzlich noch geraden - außerdem kannst Du hier einfacher als in Zeichnung 1) vorgehen. Alles in diesen Aufgaben (Längen, Flächen) läßt sich sehr einfach berechnen! Alle Werte sind bekannt, die Figuren sind sehr einfach aufgebaut, keinerlei "krumme" Werte kommen vor!
22.01.2011, 11:45	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbogen die flächengleichheit kannst du auch ohne rechnung zeigen, indem du ein/mehrere "viertelquadrat/e" auschneidest und anschließend die einzelnen figuren durch drehungen und verschiebungen derselben erzeugst
22.01.2011, 16:52	gast51	Auf diesen Beitrag antworten »
ist der Flächeninhalt hier immer: *4r^2-(pir^2)** ??
22.01.2011, 23:53	Roman Oira-Oira	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich ht riwe recht! Es ist ja garnicht gefordert, den Flächenwert zu berechnen. Und die Figuren 1 - 3 kann man tatsächlich einfach durch Drehungen und Verschiebungen der Viertelquadrate ineinander überführen. Dies wird für Figur 4 jedoch nicht funktionieren, da wir hier 2 der schraffierten Grundfiguren in einem Viertelquadrat haben. Aber vielleicht reicht ja auch schon die Begründung, daß alle schraffierten Grundfiguren gleich groß sind (warum?) und jede der 4 Figuren aus 4 diesen Grundfiguren zusammengesetzt ist. Mein ursprünglicher Vorschlag, die Flächenwerte zu berechnen, ist unsinnig! Wenn wir aber dennoch Interesse an dem Flächenwert der Figuren haben, so sollte uns in Figur 4 die kleine Figur in jedem Viertelquadrat an unsere Aufgabe hier erinnern. Die dort in einem Viertelquadrat berechnete Fläche ist genau das Komplement der Fläche in den Viertelquadraten der Figur 4. Die zu rechnende Fläche im Viertelquadrat entspricht genau den im anderen Thread berechneten Flächenstücke A und B (mit A = B). Es war $\begin{eqnarray} A = r^2 - \frac{\pi r^2}{4} \end{eqnarray}$ . Diese Fläche haben wir pro Viertelquadrat 2 mal. Insgesamt enthalten 2 Viertelquadrate diese Fläche, also $\begin{eqnarray} A_{\text{gesamt}} = 4 (r^2 - \frac{\pi r^2}{4}) = 4r^2 - \pi r^2 \end{eqnarray}$ . Und siehe da, unsere Ergebnisse stimmen wieder überein! Wie steht's mit Aufgabenteil b.) ?
23.01.2011, 00:58	gast51	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man die Idee des Ganzen hat, ist es sehr einfach. zu B.) (Umfänge): Umfang 1: 2pir Umfang 2: 2pir + 4r Umfang 3: 2pir + 8r Umfang 4: 2pir + 8r Scheint mir logisch, hoffe es ist richtig... Danke auch hier nochmal für die Hilfestellung, komme gerne wieder
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23.01.2011, 01:35	Roman Oira-Oira	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe dieselben Ergebnisse! Aber ich bin bei der 4. Figur etwas unsicher! Wir haben ja sowohl die äußeren als auch die inneren Begrenzungslinien addiert. Gehören die inneren Begrenzungslinien aber tatsächlich zum Umfang? Ich bin mir da nicht sicher! Bei einem ähnlichen Beispiel würde ich sogar sagen, "nein"! Was würdest Du als den Umfang vom Kreisring definieren? Nur den Umfang des äußeren Kreises oder auch den den inneren Kreis?
23.01.2011, 15:13	gast51	Auf diesen Beitrag antworten »
... eigentlich nur des äußeren, intuitiv...
23.01.2011, 23:43	Roman Oira-Oira	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe diese Fragestellung gestern mal als Thema gepostet: Umfang bei Figuren mit "Löchern". Ich glaube, wir können bei unserer Lösung mit äußeren und inneren Begrenzungslinien bleiben. Obwohl, ... ?!? Was meinen denn Deine Aufgabensteller dazu? Oder hast Du Dir die Aufgaben selbst gestellt?

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