Konvergenzsätze als Aussagen über Reihen

22.01.2011, 12:48	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzsätze als Aussagen über Reihen Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ das Zählmaß auf $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ . Interpretieren Sie das Lemma von Fatou, den Satz über monotone Konvergenz sowie den Satz über majorisierte Konvergenz als Aussagen über Reihen. Meine Ideen: Ich habe mir Folgendes überlegt und wüsste gerne, ob ich richtig liege. Für alle drei Sätze gilt: Sei $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ das Zählmaß auf $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ , das bedeutet ja $\begin{eqnarray} (\mathbb N, \mathcal{P}(\mathbb N), \mu) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sum_{n\in \mathbb N}\delta_n \end{eqnarray}$ . Dann ist doch $\begin{eqnarray} \mathcal{L}^1((\mathbb N, \mathcal{P}(\mathbb N),\mu) \end{eqnarray}$ im Grunde nichts Anderes als die Menge $\begin{eqnarray} \left\{(x_n)_{n\in \mathbb N}\in \mathbb N: \sum_{n=1}^{\infty}\|x_n\|<\infty\right\} \end{eqnarray}$ . [Das Zählmaß ordndet doch jeder Menge die Anzahl ihrer Elemente zu; das Zählmaß nimmt entweder einen konstanten endlichen Wert an oder unendlich; Voraussetzung für die Integrierbarkeit ist aber, dass das Integral des Betrags kleiner unendlich ist; also müssen Zählmaß und Funktionswerte endlich sein; das ist doch in diesem Fall äquivalent dazu, dass es eine (endliche) Folge von natürlichen Zahlen gibt, deren Beträge aufsummiert kleiner als unendlich sind.] Dann kann man doch jetzt eigentlich, sofern die Voraussetzungen der Sätze erfüllt sind, einfach die Integralzeichen durch Summenzeichen ersetzen: Also z.B. für den Satz über majorisierte Konvergenz: Der Satz sagt dann in diesem Fall: Für jede Folge $\begin{eqnarray} (x_{i,n})_{i,n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ für die gilt, dass $\begin{eqnarray} x_i=\lim_{n \to \infty}x_{i,n} \end{eqnarray}$ ex. $\begin{eqnarray} \forall i\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|a_{i,n}\|\leq b_i \forall i,n\in \mathbb N, \sum_{i\in \mathbb N}b_i<\infty \end{eqnarray}$ , folgt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \mathbb N} \sum_{i\in \mathbb N}x_{i,n}=\sum_{i\in \mathbb N}x_i \end{eqnarray}$ . Und für die anderen beiden Sätze würde ich es nun ebenso einfach "übersetzen" für Folgen: Lemma von Fatou besagt dann: $\begin{eqnarray} \sum_{n\in \mathbb N} \lim_{n \to \infty} \inf a_n\leq \lim_{n \to \infty}\inf \sum_{n\in \mathbb N}a_n \end{eqnarray}$ und der Satz über monotone Konvergenz für jede Folge $\begin{eqnarray} (a_{i,n})_{i,n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}a_{i,n}=a_i, a_{i,n}\leq a_{i+1,n+1} \end{eqnarray}$ , dass gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\sum_{i\in \mathbb N}a_{i,n}=\sum_{i\in \mathbb N}a_i \end{eqnarray}$ . ----------- So meine Ideen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »