Ausgleichsproblem und Projektionsmatrix

22.01.2011, 13:12

Chrissxxx

Ausgleichsproblem und Projektionsmatrix

Hallo,
ich hoffe mir kann jemand helfen bei dieser Aufgabe:

Zitat:

Für eine Matrix $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R^{m\times n} , m > n , rk(A)=n \end{eqnarray*}$ ist das lineare Ausgleichsproblem gegeben durch:

Bestimme $\begin{eqnarray*} x^{n} \in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} || Ax^{*} - b || = min_{x\in \mathbb R^{n}}||Ax-b||. \end{eqnarray*}$

Vorerst sei die Norm die euklidische Norm.

a) Zeigen Sie, dass es eine Projektionsmatrix $\begin{eqnarray*} P\in \mathbb R^{m\times m} \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} Ax^{*} \end{eqnarray*}$ eine Projektion von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist.

b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ orthogonal zur Euklidischen Norm ist, und das $\begin{eqnarray*} Im(P)=IM(A) \end{eqnarray*}$ gilt. (D.h. die Projektion bildet in den Bildraum von A ab.)

Ich hab keine Ahnung wie ich hier anfangen soll.
Bedeutet die Angabe, dass $\begin{eqnarray*} Pb=Ax^{*} \end{eqnarray*}$ oder dass $\begin{eqnarray*} b = PAx^{*} \end{eqnarray*}$ ?
Und kann es sein, dass ich dass irgendwie mit der Normalengleichung $\begin{eqnarray*} A^{T}Ax^{*} = A^{T}b \end{eqnarray*}$ zeigen kann? Wenn ja wie soll ich da anfangen ?

22.01.2011, 13:41

tigerbine

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RE: Ausgleichsproblem und Projektionsmatrix
http://www.math.uni-hamburg.de/home/hofm...em/Vortrag8.pdf

Für mehr habe ich gerade keine Zeit. Wink

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