Rekursionsformel eines Integrals

22.01.2011, 13:39

cHilLz0Ne

Rekursionsformel eines Integrals

Hallo Leute,

ich soll eine Rekursionsformel für das Integral $\begin{eqnarray*} I_{n}:=\int \! \left(\cos(x)\right)^{2n} \, dx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ finden.

Das bedeutet ich brauche eine Formel fürs nächste Glied, daher:
$\begin{eqnarray*} I_{n+1}:=\int \! \left(\cos(x)\right)^{2n+2} \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt stockt es bei mir. Ich habe verschiedene Versuche mit der Partitiellen Integration gehabt und auch die Substitution versucht. Aber irgendwie komme ich auf keinen grünen Zweig. Gibts ja irgendeinen Trick?

lg

22.01.2011, 13:45

gonnabphd

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Hi,

Versuch mal $\begin{eqnarray*} \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ einzubauen.

Wink

22.01.2011, 14:41

cHilLz0Ne

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Dazu hab ich dann 2 Grundideen. Aver iwie helfen mir beide nicht weiter verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int \! \left(\cos(x)\right)^{2n+2} \, dx =1-\int \! \left(\sin(x)\right)^{2n+2} \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt hätte ich entweder versucht das Sinus Integral direkt mittels der partiellen Integration aufzulösen, da käme dann folgendes raus, aber da komme ich dann nicht weiter:
$\begin{eqnarray*} \int \! \left(\sin(x)\right)^{2n+2} \, dx=\int \! \left(\sin(x)\right)^{2n+1}*\sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \! \left(\sin(x)\right)^{2n+1}*\sin(x) \, dx =\left[\sin(x)^{2n+1}*\cos(x)\right]+\left(2n+1\right)*\int \! \sin(x)^{2n}*\cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Oder ich hätte es mittels Substitution versucht. Da komme ich aber auch mehr weiter. Was würdet Ihr denn hier anwenden?

22.01.2011, 15:22

cHilLz0Ne

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Kann mir keiner dabei helfen?

22.01.2011, 15:43

cHilLz0Ne

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Ok das was ich da oben gemacht habe, ist falsch. Vergesst das mal.

Aber ein Hinweis wäre trotzdem nicht schlecht Augenzwinkern

22.01.2011, 16:43

corvus

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RE: Rekursionsformel eines Integrals
hypergeometrische Funktion

Zitat:

Original von cHilLz0Ne
ich soll

eine Rekursionsformel für das Integral
$\begin{eqnarray*} I_{n}:=\int \! \left(\cos(x)\right)^{2n} \, dx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
finden.

Das bedeutet ich brauche eine Formel fürs nächste Glied,
unglücklich

$\begin{eqnarray*} I_{n+1}:=\int \! \left(\cos(x)\right)^{2n+2} \, dx \end{eqnarray*}$

1) vielleicht wäre es eine besonders gute Idee, wenn du dich
zum Stichwort "Rekursionsformel" kundig machen würdest.

2) hier halt mal ein Beispiel :
sei $\begin{eqnarray*} C_{n} = \int \! cos^n(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Eine Reursionsformel dazu sieht dann etwa (für n>=2) so aus:
$\begin{eqnarray*} C_{n} = \frac{1}{n}\cdot \sin(x) \cos^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot C_{n-2} \end{eqnarray*}$
wobei das dann erst komplett ist, wenn du in der Lage bist,
$\begin{eqnarray*} C_{0}=? \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_{1}=? \end{eqnarray*}$ noch richtig dazuzuliefern . smile

22.01.2011, 17:57

cHilLz0Ne

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Oh irgendwie hab ich da was verdreht.

Also nochmal von Vorne.

Ich habe $\begin{eqnarray*} I_{n}:=\int%20\!%20\left(\cos(x)\right)^{2n}%20%20%20%20\,%20dx \end{eqnarray*}$

Das versuche ich zu integrieren und daraus dann eine Rekursionsformel zu bekommen, in der Form $\begin{eqnarray*} I_{n} \end{eqnarray*}$ = (irgendwas mit $\begin{eqnarray*} I_{n-1} \end{eqnarray*}$ )

Bin ich soweit jetzt richtig?

22.01.2011, 19:13

cHilLz0Ne

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So ich glaub ich habs jetzt:
Ich leite $\begin{eqnarray*} I_{n}:=\int%20\!%20\left(\cos(x)\right)^{2n}%20%20%20%20\,%20dx \end{eqnarray*}$ ab.
$\begin{eqnarray*} I_{n}=\int \! (\cos(x))^{2n-1})*\cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_{n}=\left[\sin(x) *\cos(x)^{2n-1}\right]-(2n-1)*\int \cos(x)^{2n-2}*\sin^2(x) \! \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_{n}=\left[\sin(x) *\cos(x)^{2n-1}\right]-(2n-1)*\int \cos(x)^{2n-2}*(1-\cos^2(x) \! \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_{n}=\left[\sin(x) *\cos(x)^{2n-1}\right]-(2n-1)*\int \cos(x)^{2n-2}-\cos^{2n}(x) \! \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_{n}=\left[\sin(x) *\cos(x)^{2n-1}\right]-(2n-1)*\left(I_{n-1}-I_{n} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_{n}=\frac{\left[\sin(x) *\cos(x)^{2n-1}\right]-(2n-1)*I_{n-1}}{2n} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so, was ich da gemacht habe? Ich habe da jetzt einige Stunden dran gesessen.

22.01.2011, 19:41

corvus

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Zitat:

Original von cHilLz0Ne
So ich glaub smile

ich habs jetzt:
Ich leite $\begin{eqnarray*} I_{n}:=\int%20\!%20\left(\cos(x)\right)^{2n}%20%20%20%20\,%20dx \end{eqnarray*}$ ab.
$\begin{eqnarray*} I_{n}=\int \! (\cos(x))^{2n-1})*\cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_{n}=\left[\sin(x) *\cos(x)^{2n-1}\right]-(2n-1)*\int \cos(x)^{2n-2}*\sin^2(x) \! \, dx \end{eqnarray*}$

hier lässt dich der Glaube bereits im Stich, .. denn siehe: da ist ein kleiner Vorzeichenteufel drin.

Hoffe, dass du nicht weitere Stunden brauchen wirst, um diesem Fehlerchen
und seiner Fortpflanzung den Garaus zu machen .

Und wenn dann alles richtig ist, solltest du dir vielleicht noch über die "Anfänge"
ein paar Gedanken machen (siehe obiges Beispiel).

.

23.01.2011, 12:14

cHilLz0Ne

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$\begin{eqnarray*} I_{n}=\frac{\left[\sin(x)%20*\cos(x)^{2n-1}\right]+(2n-1)*I_{n-1}}{2n} \end{eqnarray*}$

So sollte es glaub ich heißen.

Meinst du mit den Anfängen das ich jetzt die Rekursionsformel für n>=1 habe und noch $\begin{eqnarray*} I_{0} \end{eqnarray*}$ dazuliefern muss, damit das komplett ist?

23.01.2011, 16:59

corvus

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Zitat:

Original von cHilLz0Ne

So sollte es glaub ich heißen. Freude

Meinst du mit den Anfängen,
dass ich jetzt die Rekursionsformel für n>=1 habe
und noch $\begin{eqnarray*} I_{0} \end{eqnarray*}$ dazuliefern muss, damit das komplett ist?

ganz genau so ist es

und das haben halt Rekursionsformeln auch so an sich,
dass das "Zurücklaufen" irgendwo aufhören sollte bzw aufhören wird und
also daher auch brauchbare Startwerte sinnvoll, sprich erforderlich sind.

ok?

23.01.2011, 19:21

cHilLz0Ne

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Gut ok Ich glaub ich hab so langsam verstanden. Mit diesen Rekursionsformeln hatte ich schon immer ein paar Probleme.

Ich danke dir für deine Geduld smile

23.01.2011, 22:01

Hi25

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chillzone oder jemand anders .Kannst du mir deine rechnung erklären.
Wie du auf das cos x * sin x gekommen bist.
Und vor allemwie du auf das 2n - 1kommst.
Was hastdu da genau gemacht.

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Rekursionsformel eines Integrals

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