raffiniertes Argument

22.01.2011, 13:53

Kurvenliebhaber

raffiniertes Argument

Ich versuch mich schon eine ganze Zeit lang an folgender Ungleichung (p stets eine Primzahl):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} \geq \prod\limits_{n<p\leq 2n} p \end{eqnarray*}$

Den Binomialkoeffizienten ausschreiben und nach prim/nicht-prim sortieren liefert:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\prod\limits_{n<p\leq 2n} p)(\prod\limits_{n<q\leq 2n} q)}{n!} \end{eqnarray*}$

wobei q eine nicht-Primzahl ist. Damit muss ich nur noch zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n<q\leq 2n} q \geq n! \end{eqnarray*}$

Aber so richtig hat das noch nicht ganz geklappt...

Bitte helft mir smile

22.01.2011, 14:38

wisili

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RE: raffiniertes Argument
Edit: Sorry, Unsinn, gelöscht.

22.01.2011, 14:48

Kurvenliebhaber

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Das ist aber nicht $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ was du geschrieben hast, sondern $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix}n! \end{eqnarray*}$ . Ich denk trotzdem mal drüber nach

22.01.2011, 14:55

wisili

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Stimmt, du hast recht, da habe ich gepfuscht; habe deshalb oben gelöscht.

22.01.2011, 21:40

Mystic

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RE: raffiniertes Argument

Zitat:

Original von Kurvenliebhaber
[...]
Den Binomialkoeffizienten ausschreiben und nach prim/nicht-prim sortieren liefert:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\prod\limits_{n<p\leq 2n} p)(\prod\limits_{n<q\leq 2n} q)}{n!} \end{eqnarray*}$

wobei q eine nicht-Primzahl ist.

Verwende, dass offensichtlich gilt

$\begin{eqnarray*} ggT(\prod\limits_{n<p \le 2n} p,\ n!)=1 \end{eqnarray*}$

und obiger Bruch in Wahrheit ja ganz ist...

23.01.2011, 09:02

Kurvenliebhaber

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Genau sowas habe ich gesucht. Fantastisch smile

Vielen Dank!!!

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