Rechnen mit Lebesgue-Integralen

22.01.2011, 14:05

Gast11022013

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Rechnen mit Lebesgue-Integralen

Meine Frage:
Ich hab mal eine Frage. Und zwar haben wir in letzter Zeit immer Theorie über Lebesgue-Integrale durchgenommen (Definition des Integrals in drei Schritten, Konvergenzsätze,...) und nun habe ich folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^n \! (1-x/n)^n \, dx \to \int_0^{\infty} \! e^{-x} \, dx \end{eqnarray*}$

[Ich weiß nicht genau, ob beim ersten Integral $\begin{eqnarray*} \frac{1-x}{n} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1-\frac{x}{n} \end{eqnarray*}$ gemeint ist, aber das berührt meine Frage auch gar nicht.]

Meine Frage ist nämlich:

Kann ich jetzt (wie ichs gewohnt bin) einfach mit z.B. partieller Integration, Substitution usw. arbeiten?

Meine Ideen:
Meine Vermutung ist: ja.

Denn es ist ja so, dass Lebesgue-Integral und Regel-bzw. Riemann-Integral identisch sind. Jedenfalls grob gesagt.

22.01.2011, 17:03

system-agent

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Dieses "grob gesagt" ist aber genau das, was du nicht nur grob sagen sollst.
Genauer:
Es gilt $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(x)\dd x=\int f \chi_{[a,b]}\dd \lambda \end{eqnarray*}$ ,
wobei links das Riemann Integral steht und rechts das Lebesgue-Integral über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Das heisst auf kompakten Intervallen ist alles, was auch R-Integrierbar ist auch L-Integrierbar [Umkehrung ist falsch] und die Integrale sind gleich.

Das heisst das Integral auf der linken Seite der Behauptung ist im Lebesgue-Sinne zu verstehen als
$\begin{eqnarray*} \int \left(1-\frac{x}{n}\right)^n\chi_{[0,n]}\dd\lambda \end{eqnarray*}$ .
Nun kannst du den Integranden natürlich als eine Folge $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ von integrierbaren Funktionen sehen und gewisse schöne Sätze bemühen über die Vertauschung vom Limes und Integral bemühen.

Das liefert dir ein Integral $\begin{eqnarray*} \int f\dd\lambda \end{eqnarray*}$ für die Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f=\lim_{n\to\infty} f_n \end{eqnarray*}$ . Dieses Integral ist aber wieder ein L-Integral. Dann musst du untersuchen ob dieser Integrand auch im Riemann-Sinne integrierbar ist und vor allem ob die beiden Integrale auch wirklich dieselben dann sind.

23.01.2011, 16:26

Gast11022013

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Ich verstehe nicht genau, wie Du das meinst.

Meinst Du, dass man den Satz über monotone Konvergenz anwenden kann?

Das heißt: Man betrachtet die Folge $\begin{eqnarray*} ((1-\frac{x}{n})^n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ , deren Grenzwert $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ ist?

Weiter muss für den Satz von der monotonen Konvergenz ja gelten, dass diese Folge monoton anwächst; dies ist für festes x der Fall.

Demnach gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\int_{0}^{n} \! ((1-\frac{x}{n})^n)_{n\in \mathbb N} \, d\mu =\int_{0}^{\infty} \! e^{-x}\, d\mu \end{eqnarray*}$

Ich habe nicht verstanden, was jetzt noch mit dem Riemann-Integral zu kontrollieren ist.

Nach Riemann wäre ja $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \! e^{-x}\, d\mu \end{eqnarray*}$
ein uneigentliches Integral und man würde schreiben $\begin{eqnarray*} \underbrace{lim_{n \to \infty}\int_{0}^{n} \! e^{-x}\, d\mu}_{=\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{n} \! ((1-\frac{x}{n})^n)_{n\in \mathbb N} \, d\mu }=\int_{0}^{\infty} \! e^{-x}\, d\mu \end{eqnarray*}$ .

Hat man so gezeigt, was gefragt war?!

23.01.2011, 17:21

system-agent

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Ich habe gesagt dass die beiden Arten von Integralen im Allgemeinen nicht dasselbe sind und genau darauf musst du hier aufpassen anstatt soetwas wie

Zitat:

Denn es ist ja so, dass Lebesgue-Integral und Regel-bzw. Riemann-Integral identisch sind. Jedenfalls grob gesagt.

zu glauben.

Nun du hast hier zwei R-Integrale stehen [erkennt man meistens daran dass man in der Masstheorie " $\begin{eqnarray*} \dd\lambda \end{eqnarray*}$ " im Integral schreibt wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ das betrachtete Mass ist und bei R-Integralen steht dann ein " $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ "].
Wenn du da irgendwas aus der Lebesgue-Theorie anwenden willst, dann hast du auch zu untersuchen, ob du das überhaupt darfst. Und das habe ich dir versucht klarzumachen.

Sprich du musst die Folge die dort steht erstmal in den Lebesgue-Sinn übersetzen, was ich dir schon abgenommen habe.

23.01.2011, 17:26

Gast11022013

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Ja, aber ich weiß nicht, wie ich damit jetzt weiter machen muss.

23.01.2011, 17:49

system-agent

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Zitat:

Original von system-agent
Das heisst das Integral auf der linken Seite der Behauptung ist im Lebesgue-Sinne zu verstehen als
$\begin{eqnarray*} \int \left(1-\frac{x}{n}\right)^n\chi_{[0,n]}\dd\lambda \end{eqnarray*}$ .

Das riecht verdächtig nach einer Folge von integrierbaren Funktionen. Nun aber die Fragen:
Wieso ist dies dasselbe wie die linke Seite deiner Behauptung? [Vergleich von R- und L- Integral über ein kompaktes Intervall].
Ist der Integrand integrierbar? [Kommt von obigem].
Was passiert für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ? Hier würde ich den Konvergenzsatz von Lebesgue versuchen. Betrachte dazu als integrierbare [wieso?] Majorante [wieso?] die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=\exp(-x)\chi_{[0,\infty)}(x) \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die Grenzfunktion der Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{x}{n}\right)^n\chi_{[0,n]} \end{eqnarray*}$ ist, liefert dir Lebesgue dann, dass
$\begin{eqnarray*} \int \left(1-\frac{x}{n}\right)^n\chi_{[0,n]}\dd\lambda=\int g\dd\lambda=\int e^{-x}\chi_{[0,n]}(x)\dd\lambda=\int\limits_{[0,\infty)}e^{-x}\dd\lambda \end{eqnarray*}$ .

Dummerweise ist $\begin{eqnarray*} \int\limits_{[0,\infty)}e^{-x}\dd\lambda \end{eqnarray*}$ wieder ein L-Integral. Nun musst du noch begründen, wieso
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{[0,\infty)}e^{-x}\dd\lambda=\int\limits_0^{\infty}e^{-x}\dd x \end{eqnarray*}$ gilt.

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23.01.2011, 17:58

Gast11022013

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Nur zu Letzterem:

Weil man es aufteilen kann in Integrale über kompakte Intervalle und dort die Gleichheit herrscht?

23.01.2011, 18:26

system-agent

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Nein.
Es gibt einen Satz und der sagt folgendes:
Sei $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ein Intervall, wobei $\begin{eqnarray*} -\infty\leq a<b\leq\infty \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} f: [a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Funktion die auf jedem kompakten Teilintervall von $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar ist. Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist L-integrierbar über $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ über jedes kompakte Teilintervall von $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ R-integrierbar ist. In dem Fall gilt $\begin{eqnarray*} \int\limits_{[a,b]}f\dd\lambda=\int\limits_a^bf(x)\dd x \end{eqnarray*}$ .

23.01.2011, 18:32

Gast11022013

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In dem anderen Thema hast Du mir erklärt, warum man nicht die Grenzfunktion (generell) als Majorante wählen kann.

Hier hast Du das aber getan, woraus ich schließe, dass sie integrierbar ist.

Soll man aber nicht das gerade zeigen? Wie kannst Du es annehmen?

23.01.2011, 18:40

system-agent

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Das brauche ich nicht anzunehmen, das sehe mit eben genau dem zitierten Satz.

23.01.2011, 18:44

Gast11022013

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Danke!

Noch eine andere Frage:

Was hat es denn immer mit diesem fast überall auf sich. Zum Beispiel im Satz von der monotonen Konvergenz bei der Majorante.

Also ich weiß, was fast überall bedeutet, aber wieso steht das in dem Satz?

23.01.2011, 18:54

system-agent

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Gefällt dir das nicht? Big Laugh

Big Laugh

Fast überall ist doch eine viel bessere Eigenschaft als überall. Zum Beispiel nehme die charakteristische Funktion $\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb Q} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Diese ist nur fast überall Null. Mit der Lebesgue-Brille kann man das dann aber trotzdem als die Nullfunktion ansehen, dh zb ist $\begin{eqnarray*} x\mapsto\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ trotzdem eine Majorante [aber natürlich nicht integrierbar].

Das heisst Lebesgue erlaubt es, dass Dinge auf Nullmengen nicht zu gelten brauchen, was natürlich besser sein kann, als wenn man fordern müsste, dass diese Dinge überall zu gelten haben.

23.01.2011, 19:04

Gast11022013

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Wenn also in einer Aufgabe steht: Seien $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ integrierbare Funktionen und dann schaue ich mir die Partialsummen $\begin{eqnarray*} f_n=\sum_{j=1}^{n}f_j \end{eqnarray*}$ und den Grenzwert $\begin{eqnarray*} f=\sum_{j=1}^{\infty} f_j \end{eqnarray*}$ an - kann ich dann in diesem Fall f als Majorante nehmen?

Ich würde sagen nein, denn ich weiß ja nicht, ob diese Grenzfunktion integrierbar ist (oder ist sie das als Summe von integrierbaren Funktionen?)

23.01.2011, 19:11

system-agent

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Nein, das kannst du nicht einfach als integrierbare Funktion nehmen.
Nur endliche Summen von integrierbaren Funktionen sind automatisch wieder integrierbar.

Gegenbeispiele dazu könntest du mit dem Satz über die monotone Konvergenz bauen.
Falls die $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ nichtnegativ und messbar sind, dann gilt
$\begin{eqnarray*} \int f\dd\lambda=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\int f_j\dd\lambda \end{eqnarray*}$ .

Wähle dann die $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ so, dass die Summe rechts divergiert. Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zwar messbar [wegen dem Satz] und nichtnegativ, aber nicht integrierbar, weil das Integral nicht endlich ist.

23.01.2011, 19:28

Gast11022013

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Wenn nun aber als Zusatzinfo steht, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty}\int |f_j|<\infty \end{eqnarray*}$ , kann ich dann

$\begin{eqnarray*} g:=\sum_{j=1}^{\infty}|f_j| \end{eqnarray*}$ als Majorante nehmen?

23.01.2011, 19:32

system-agent

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Ja, ich denke schon.

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