Zentraler Grenzwertsatz

22.01.2011, 15:47

tohuwabou

Zentraler Grenzwertsatz

Moin ,

ist das so korrekt? $\begin{eqnarray*} (X_i ,i \ge 1 ) \end{eqnarray*}$ i.i.d

$\begin{eqnarray*} Y_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$

Frage : Wie ist $\begin{eqnarray*} Y_n \end{eqnarray*}$ für hinreichend großes n näherungsweise verteilt?

Ich hab mir das so überlegt:

$\begin{eqnarray*} \mathfrak L(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i) \approx N(0,1) \end{eqnarray*}$ aus klassischem ZGS

Dann ist $\begin{eqnarray*} \mathfrak L(\frac{1}{n}\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i-0}{\sigma=\frac{1}{\sqrt{n}}}) \approx N(0,\frac{1}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$

Richtig ?

22.01.2011, 16:31

tohuwabou

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RE: Zentraler Grenzwertsatz
ach, ne . Ich glaub inzwischen das es falsch ist.

Müsste es nicht so gehen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{X_i-\mu}{\sigma} \approx N(0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}}\sigma (\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{X_i-\mu}{\sigma})= \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} (X_i-\mu) \approx N(0, \frac{1}{n} \sigma^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} X_i -n\mu +n\mu = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}X_i \approx N(n\mu ,\frac{1}{n}\sigma^2) \end{eqnarray*}$

So sollte es stimmen , oder? verwirrt

22.01.2011, 16:48

tohuwabou

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RE: Zentraler Grenzwertsatz

Zitat:

Original von tohuwabou

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} X_i -n\mu +n\mu = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}X_i \approx N(n\mu ,\frac{1}{n}\sigma^2) \end{eqnarray*}$

Hier ist es doch noch falsch Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} (X_i-\mu)= \frac{1}{n}(\sum\limits_{i=1}^{n} X_i-n\mu)=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} X_i - \mu \end{eqnarray*}$ ,

daher ist

$\begin{eqnarray*} \mathfrak L(\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} X_i) \approx N(\mu, \frac{1}{n}\sigma^2) \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich aber sicher das es stimmt , oder ? Big Laugh

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