Tangentialebene und partielle Ableitung |
| 22.01.2011, 15:49 | Opheliac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Tangentialebene und partielle Ableitung Hallo! Stehe momentan voll auf dem Schlauch... Habe hier eine Aufgabe zu einer Tangentialebene, aber weiß überhaupt nicht, wie ich da rangehen muss... Die Tangentialebene einer Funktion f(x,y) im Punkt (x0 , y0) ist definiert als g(x, y) = f (x0, y0 ) + fx (x0, y0 ) ×(x - x0 ) + f y (x0, y0 ) ×( y - y0 ) . Dabei sind fx und fy die partiellen Ableitungen df/dx und df/dy der Funktion f(x,y). Berechnen Sie die Tangentialebene der Funktion f(x,y)=8*e^(-0,2x²-0,1y²-0,2xy+0,8x+0,6y-1) im Punkt (1 , 2). Meine Ideen: Weiß gar nicht, was ich da überhaupt tun soll, geschweige denn, wie ich anfangen könnte... |
||||||
| 22.01.2011, 15:59 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, na ja, eigentlich ist das nur einsetzen, wenn man die partiellen Ableitungen hat. Berechne also zunächst und . Ich schreib f auch noch mal in "schön" hin: Übrigens, ist das Schulmathe? |
||||||
| 22.01.2011, 16:07 | Opheliac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich habs in der Schule nicht gemacht^^ Muss es für einen Übungszettel an der Uni lösen (für einen Studiengang wo Mathe eigentlich 2. Geige spielt (spielen sollte^^) 
)Ok... wie bilde ich denn die partiellen Ableitungen? Ich muss ja irgendwie einmal x als konstante und einmal y als konstant ansehen, oder? Ich denke mir also einmal quasi y weg: (kommt das hin?) und leite dann ab?! |
||||||
| 23.01.2011, 15:18 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist korrekt ...
Nein, oben hast du doch gesagt, du siehst y als Konstante an. Wegdenken ist falsch. Tu so, als ob da irgendeine feste Zahl steht. |
||||||
| 25.01.2011, 17:53 | Opheliac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, habe jetzt die partielle Ableitung, aber wo soll ich die einsetzen?! |
||||||
| 25.01.2011, 18:37 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun, anstatt fx, fy (d.s. die Richtungsableitungen), vorher noch die Koordinaten des Berührungspunktes einsetzen. mY+ |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 25.01.2011, 19:21 | Opheliac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, also setze ich für x0= 1 ein und für y0=2 ? Dann kommt insgesamt glaube ich 8 raus... Kann das sein? Oder muss das wiederum eine Funktion ergeben? Weil es heißt ja f(x0,y0)+Fx(x0,y0)*(x-x0)+fy(x0,y0) Wenn ich mich nicht verrechnet habe kommt da dann 8+0+0 raus... |
||||||
| 25.01.2011, 20:16 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es muss sich natürlich eine lineare Gleichung in y, y, z ergeben (z = f(x,y)), denn so sieht nun mal die Koordinatenform einer Ebene aus. D.h. die x, y .. bleiben stehen, und x0, y0, .. werden durch die Koordinaten des Berührungspunktes ersetzt. Sh. auch Vektor tangential an Graphen Hesse'sche Normalforn einer Tangentialebene mY+ |
||||||
| 26.01.2011, 16:37 | Opheliac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Problem ist nur, dass bei F(x) und f(y) 0 rauskommen... Naja, ich kann ja meinen Rechenweg mal aufzeigen...: (Ich hoffe es wird nicht zu unübersichtlich) So, wenn ich dann in fx(x0,y0) und fy(x0,y0) für x 1 und für y 2 einsetze (weil ich die Tangentialebene im Punkkt(1,2) berechnen soll) kommt da 0 raus... und 0*(x-x0) ist ja auch 0. Wo habe ich mich denn dann vertan?! |
||||||
| 26.01.2011, 19:46 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es stimmt so weit alles und das ergibt auch kein Problem. Es sind die beiden Richtungsableitungen nach x und y tatsächlich beide Null. Du hast aber vergessen, dass sich das Ganze im 3-dimensionalen Raum abspielt und du noch die z-Koordinate zu berücksichtigen hast. Auch die des Berührungspunktes muss noch berechnet werden! Deswegen habe ich dir ja auch die Links zu den entsprechenden anderen Threads gegeben. Es ist - für den Normalvektor der Tangentialebene - also der Gradient [im Berührungspunkt (1; 2; z0) = (1; 2; 8)] zu berechnen. Und dieser ist daher . Mittels dieses Normalvektors und des Berührungspunktes kommt: ______________________ Du kannst ja auch - nach der angegebenen Beziehung - mit den ermittelten Richtungsvektoren der Tangentialebene weiterrechnen. Diese sind (1; 0; fx) und (0; 1; fy), in deinem Falle also (1; 0; 0) und (0; 1; 0). .... Du hast dann dabei so etwas wie "8 + 0 + 0" herausbekommen, was fast die Tangentialeben beschreibt. Aber nur fast. Denn du hast auch hier auf das z vergessen. Wirklich ist z = 0x + 0y + 8 bzw. Die Tangentialebene steht also horizontal (parallel zur x-y - Ebene). mY+ |
||||||
| 26.01.2011, 20:33 | Opheliac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wow, wirklich vielen Dank für die ausführliche Antwort!!! 
Das ich z noch brauche leuchtet mir jetzt auch ein... Eine Sache ist jedoch noch nicht ganz klar, und zwar, was man bei einer Tangentialeben jetzt als Antwort hinschreibt... einfach dass x=0 y=0 und z=8 ?! reicht das, oder muss man das noch schön verpacken?
|
||||||
| 26.01.2011, 21:03 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, die komplette Gleichung lautet Dies ist gleichbedeutend mit der Normalvektorgleichung Der Spaltenvektor ist der Normalvektor der Ebene, X enthält die allgemeinen Koordinaten x, y und z, und 8 ergibt sich, weil der Punkt (1; 2; 8) in dieser Ebene liegen muss. Die Parameterform dieser Ebenen lautet mY+ |
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
