Integrierbare Funktionen

22.01.2011, 16:04

Gast11022013

Integrierbare Funktionen

Meine Frage:
Betrachte Funktionen $\begin{eqnarray*} f_j\in \mathcal{L}^1 (j\in \mathbb N) \end{eqnarray*}$ .

(i) Sei $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty}f_j \end{eqnarray*}$ konvergent und in $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^1 \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass $\begin{eqnarray*} \int \sum_{j=1}^{\infty}f_j\neq \sum_{j=1}^{\infty}\int f_j \end{eqnarray*}$ gilt.

(ii) Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty}\int|f_j|<\infty \end{eqnarray*}$ , so konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty}f_j \end{eqnarray*}$ fast überall gegen eine integrierbare Funktion und es gilt $\begin{eqnarray*} \int \sum_{j=1}^{\infty}f_j=\sum_{j=1}^{\infty}\int f_j \end{eqnarray*}$ .

Seien $\begin{eqnarray*} X_j\subseteq X (j\in \mathbb N) \end{eqnarray*}$ meßbare Teilmengen mit $\begin{eqnarray*} X_j \to X \end{eqnarray*}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray*} f:X\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine meßbare Funktion, die über jedes $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ integrierbar ist.

(iii) Falls $\begin{eqnarray*} \lim_{j \to \infty}\int_{X_j}|f|<\infty \end{eqnarray*}$ , so ist f auch über X integrierbar und es gilt $\begin{eqnarray*} \int_{X}f=\lim{j \to \infty}\int_{X_j}f \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Diese Aufgabe finde ich sehr schwer, daher habe ich auch nicht viel zustande bekommen.

Zu (i):
Es gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty}f_j<\infty \end{eqnarray*}$ (da der Ausdruck konvergent sen soll) und $\begin{eqnarray*} \int |\sum_{j=1}^{\infty}f_j|<\infty \end{eqnarray*}$ (da der Ausdruck in $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^1 \end{eqnarray*}$ sein soll). Würde ich als Beispiel die geometrische Reihe eignen?

Kann mir jemand zu (i)-(iii) Tipps geben? Ich weiß nicht, wie ich wo anfangen kann.
[%sig%]

22.01.2011, 17:19

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RE: Integrierbare Funktionen
So, ich hoffe, dass das folgende auch so funktioniert, wie ich mir das gerade ausdenke, ich habe den Beweis jetzt nicht nachgeturnt, sondern mir nur generelle Ansätze überlegt.

Aber ein paar Tipps hätte ich schon:
Zu (i): Naja, in (ii) beweist du ja, wann das zum Beispiel funktioniert. Du hast dort eine weitere Bedingung, die NICHT erfüllt sein DARF, damit (i) funktioniert. Vielleicht hilft die - auf den ersten Blick sehe ich gerade kein Beispiel.

Zu (ii): Die Idee ist, sich auf Positiv- und Negativteil zurückzuziehen. Mit der monotonen Konvergenz sollte dir dann (für die rein positiven Funktionen) der zweite Teil des Beweises (Vertauschbarkeit der Grenzwerte) gelingen. Die Verallgemeinerung auf allgemeine Funktionen folgt dann.
Der Vorteil ist, dass du die Integrierbarkeit der Grenzfunktion geschenkt bekommst über den Satz von der monotonen Konvergenz, du benötigst nur die Existenz und Messbarkeit dieser Grenzfunktion.

Zu (iii): Auch hier kannst du dir wieder überlegen, warum es reicht, das ganze für strikt positive Funktionen zu beweisen. Dann kannst du das Integral mit Hilfe der charakteristischen Funktion schon einmal umschreiben, sodass du dich wieder auf eine monoton wachsende Funktionenfolge zurückziehst.

Gruß
MI

22.01.2011, 17:27

Gast11022013

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RE: Integrierbare Funktionen
Ich möchte gerne meine bisherige "Idee" zu (ii) vorstellen.
Sie deckt sich, denke ich, mit Deinen Hinweisen.

Man betrachte $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty} f_j \end{eqnarray*}$ bzw. die Folge der Partialsummen $\begin{eqnarray*} (\sum_{j=1}^{n}f_j)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Diese Folge ist monoton wachsend und man kann den Satz über die monotone Konvergenz anwenden. Dieser liefert:

$\begin{eqnarray*} \int_{X} \sum_{j=1}^{\infty}f_j=\int_{X} \lim_{n \to \infty}(\sum_{j=1}^{n}f_j)=\lim_{n \to \infty} \int_{X}\sum_{j=1}^{n}f_j=\int_{X} \sum_{j=1}^{\infty}f_j \end{eqnarray*}$

Weiter folgt dann wegen der Additivität des Integrals:

$\begin{eqnarray*} \int_{X} \sum_{j=1}^{\infty}f_j=\sum_{j=1}^{\infty}\int_{X}f_j\leq \sum_{j=1}^{\infty}\int_{X}|f_j|=\int_{X}\sum_{j=1}^{\infty}|f_j|<\infty \end{eqnarray*}$

So ist schonmal gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \int \sum_{j=1}^{\infty}f_j=\sum_{j=1}^{\infty} \int f_j \end{eqnarray*}$ gilt.

Und dass $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty} f_j \end{eqnarray*}$ konvergiert, ist auch gezeigt.

Ich weiß allerdings nicht, was es mit diesem dubiosen "fast überall" hier auf sich hat.

[Ist das bereits gezeigt oder steht das noch aus? Wenn ja, wie ist die Überlegung dazu?]

22.01.2011, 17:36

Gast11022013

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RE: Integrierbare Funktionen
Was ist denn die Eigenschaft, die man bei (ii) hat und die man bei (i) für ein Beispiel weglassen muss? Ich sehe das gerade nicht.

22.01.2011, 17:39

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RE: Integrierbare Funktionen

Zitat:

Original von Dennis2010
Dieser liefert:

$\begin{eqnarray*} \int_{X} \sum_{j=1}^{\infty}f_j=\int_{X} \lim_{n \to \infty}(\sum_{j=1}^{n}f_j)=\lim_{n \to \infty} \int_{X}\sum_{j=1}^{n}f_j=\int_{X} \sum_{j=1}^{\infty}f_j \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf das letzte Gleichheitszeichen?

Zitat:

Weiter folgt dann wegen der Additivität des Integrals:

$\begin{eqnarray*} \int_{X} \sum_{j=1}^{\infty}f_j=\sum_{j=1}^{\infty}\int_{X}f_j\leq \sum_{j=1}^{\infty}\int_{X}|f_j|=\int_{X}\sum_{j=1}^{\infty}|f_j|<\infty \end{eqnarray*}$

Hier vertauschst du Summe und Integral - für allgemeine f_j hast du das nicht gezeigt, also geht das nicht - bzw. es geht natürlich schon, aber ich bin schon der Meinung, dass du das nochmal ein bisschen besser ausführen solltest. Ferner fehlen da Betragsstriche.
Hier ziehst du dich ja gerade auf Positiv- und Negativteil zurück, was auch deutlich werden sollte.

Jetzt musst du mir noch erklären, in welchem Schritt genau du gezeigt hast, dass die Funktionenfolge gegen eine integrierbare Funktion konvergiert.

22.01.2011, 17:52

Gast11022013

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RE: Integrierbare Funktionen
Das letzte Gleichheitszeichen ist falsch.

Ich habe da nicht genau genug aufgepasst.

Ich weiß grad nicht so wirklich weiter.

Dann ist es also nur bis zum 2. Gleichheitszeichen korrekt.

Ich war der Meinung, statt den Limes davor zu schreiben... kann man auch bei dem n selbst unendlich hinschreiben. Ich dachte, das wäre das Gleiche.

Ich sehe grade, das ist ja das Gleiche, das schon am Anfang steht... :-)

22.01.2011, 18:24

Gast11022013

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RE: Integrierbare Funktionen
Also das mit der Konvergenz bei (ii) verstehe ich nicht.

Vielleicht kannst Du das nochmal erklären.

22.01.2011, 19:56

Gast11022013

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RE: Integrierbare Funktionen
Etwas Besseres fällt mir momentan zu (ii) leider nicht ein:

Man betrachte $\begin{eqnarray*} (\sum_{j=1}^{n}f_j)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Diese Folge ist monoton anwachsend und man kann den Satz über monotone Konvergenz anwenden sowie die Additivität des Integtrals ausnutzen:

$\begin{eqnarray*} \int \sum_{j=1}^{\infty}f_j=\int \lim_{n \to \infty}\sum_{j=1}^{n}f_j=\lim_{n \to \infty}\int \sum_{j=1}^{n}f_j=\lim_{n \to \infty}\sum_{j=1}^{n}\int f_j=\sum_{j=1}^{\infty}\int f_j\leq \sum_{j=1}^{\infty}\int |f_j|<\infty \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \int \sum_{j=1}^{\infty}f_j\leq \sum_{j=1}^{\infty}\int |f_j|=\int \sum_{j=1}^{\infty} |f_j|<\infty \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, ob man das sagen kann, aber folgt daraus denn nicht:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty}f_j\leq \sum_{j=1}^{\infty} |f_j|<\infty \end{eqnarray*}$ fast überall?

Und hat man damit nicht gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty} f_j \end{eqnarray*}$ fast überall gegen eine integrierbare Funktion konvergiert [die Summe aus den $\begin{eqnarray*} |f_j| \end{eqnarray*}$ ist doch eine integrierbare Funktion]?

23.01.2011, 11:36

Gast11022013

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RE: Integrierbare Funktionen
Könnte man das alles nicht mit dem Lebegue-Satz von der Konvergenz beweisen?

23.01.2011, 11:49

Gast11022013

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RE: Integrierbare Funktionen
Ich habe folgendes Korollar gefunden, das aus dem Satz von der majorisierten Konvergenz für die Partialsummen der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}f_k \end{eqnarray*}$ folgt:

"Die Funktionen $\begin{eqnarray*} f,f_n:X\to \mathbb K \end{eqnarray*}$ seien meßbar, und es gebe eine integrierbare Funktion $\begin{eqnarray*} g\in \mathcal{M}^{+} \end{eqnarray*}$ , so daß für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |\sum_{k=1}^{n} f_k|\leq g \end{eqnarray*}$ f.ü., und es sei $\begin{eqnarray*} f=\sum_{k=1}^{\infty}f_k \end{eqnarray*}$ f.ü.. Dann sind $\begin{eqnarray*} f,f_n \end{eqnarray*}$ integrierbar, und es gilt $\begin{eqnarray*} \int_{X} f=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{X} f_n \end{eqnarray*}$ ."

Das kann man doch jetzt übertragen auf (ii), oder?

Ich würde das jetzt einfach Stück für Stück abgehen:

Ich betrachte die Funktionen $\begin{eqnarray*} f=\sum_{j=1}^{\infty}f_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_n=\sum_{j=1}^{n}f_j \end{eqnarray*}$

Dann gilt 1.) $\begin{eqnarray*} f=\lim_{n \to \infty}f_n \end{eqnarray*}$ f.ü. [warum das f.ü. hier nötig ist, verstehe ich nicht ganz]

2.) Da gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty}\int |f_j|=\int \sum_{j=1}^{\infty}|f_j|<\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int |\sum_{j=1}^{\infty}f_j|\leq \int \sum_{j=1}^{\infty}|f_j|<\infty \end{eqnarray*}$ , würde ich sagen, dass somit $\begin{eqnarray*} g=\sum_{j=1}^{\infty}|f_j| \end{eqnarray*}$ eine integrierbare Funktion ist.

Außerdem gilt dann ja $\begin{eqnarray*} |\sum_{j=1}^{k}f_j|\leq g \end{eqnarray*}$ f.ü. [auch hier weiß ich wieder nicht, warum man hier das f.ü. braucht].

Jedenfalls sind meiner Meinung nach damit alle Bedingungen des Korollars erfüllt und dieses sagt dann ja aus, dass die Funktionen $\begin{eqnarray*} f,f_n \end{eqnarray*}$ integrierbar sind, dass also $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty}f_j \end{eqnarray*}$ [gemeint ist hier sicher die Folge der Partialsummen] f.ü. gegen eine integrierbare Funktion (nämlich eben f) konvergiert und dass gilt $\begin{eqnarray*} \int f=\sum_{j=1}^{\infty}\int f_j \end{eqnarray*}$ .

Ich müsste jetzt nur noch wissen, was es mit diesen f.ü. im Korollar auf sich hat.
Kann es mir jemand erklären?

23.01.2011, 14:16

Gast11022013

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RE: Integrierbare Funktionen

Zitat:

Original von MI

Zu (iii): Auch hier kannst du dir wieder überlegen, warum es reicht, das ganze für strikt positive Funktionen zu beweisen. Dann kannst du das Integral mit Hilfe der charakteristischen Funktion schon einmal umschreiben, sodass du dich wieder auf eine monoton wachsende Funktionenfolge zurückziehst.

Ich habe Deinen Tipp so verstanden, dass man statt $\begin{eqnarray*} \int_{X_j}|f| \end{eqnarray*}$ auch schreiben kann $\begin{eqnarray*} \int |f|*\chi_{X_j} \end{eqnarray*}$ .

Wie man darüber allerdings nun zu einer monoton wachsenden Funktionenfolge kommt, ist mir nicht klar.

Meine Idee wäre:

$\begin{eqnarray*} f_j:=|f|*\chi_{X_j}, \lim_{j \to \infty}f_j=|f|*\chi_{X}=|f| \end{eqnarray*}$

Sind die $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ monoton wachsend?

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