Konvergenzradius von Potenzreihen

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FAUPhy Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius von Potenzreihen
Meine Frage:
Ich bräucht mal eure Hilfe.
Und zwar geht es um den Konvergenzradius von Potenzreihen und zwar im speziellen um die Multiplikation:
Gegeben sind mit Konvergenzradius R und mit Konvergenzradius R'.


Meine Ideen:
Jetzt weiß man ja, dass die "neue" Potenzreihe einen Konvergenzradius hat, der ist.
Das ist auch soweit klar, nur ich hab jetzt versucht ein konkretes Beispiel dafür zu finden, sodass dessen Konvergenradius echt größer ist als RR'. Und dabei scheiters...

Schon mal vielen Dank
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Zitat:
Original von FAUPhy

Meine Ideen:
Jetzt weiß man ja, dass die "neue" Potenzreihe ...


Hallo,

das Produkt der beiden Potenzreihen ist das aber nicht: ist dir das klar und möchtest du trotzdem die obige Reihe betrachten?

Grüße Abakus smile
FAUPhy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Schönen guten Morgen,
ja ich weiß, das ist nicht die eigentliche Mulitplikation von unendlichen Reihen, sonst müsste ich ja das Cauchy-Produkt anwenden.
Aber ich bastel mir ja hiermit eine "neue" Reihe, die dann wirklich einen Konvergenzradius von hat, bewiesen hab ich das ja schon - nur ironsicherweise fällt mir einfach kein Beispiel für die beiden Folgen ein.
Ich versuche schon die ganze Zeit eine Folge mit Konvergenzradius 0 mit einer anderen Folge, die einen konvergenzradius hat zu verbinden und dann eine bekomme, die ungleich 0 als KR hat. Aber bisher ohne Erfolg...
Gruß
FAUPhy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Jetzt hab ich doch noch mal nachgedacht. Vielleicht hast du Recht...
Aber ich hab das Produkt so direkt hier reingeschrieben, wie es auch vorgegeben ist.
Aber mich irritiert, dass die beiden Reihen nicht wie gewohnt von n=0 bis unendlich gehen. Das eröffnet ja die Möglichkeit das Cauchy-Produkt anzuwenden, und höchstwahrscheinlich auch muss, weil eigentlich ist es ja tatsächlich nicht legitim das so zu machen-.
Was denkt Ihr?
Gruß
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Die Frage von oben kannst du natürlich stellen und vielleicht ist die sogar interessant. Bloß wie gesagt: die so entstehende neue Potenzreihe ist nicht das Produkt der beiden Ausgangs-Potenzreihen.

Ansonsten werfe doch mal einen Blick auf die Formel von Cauchy-Hadamard.

Grüße Abakus smile
FAUPhy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Ja, ich kann mit der Cauchy-Hadamard Formel umgehen und auch den Konvergenzradius von Potenzreihen ausrechnen, das hab ich auch schon zu genüge gemacht, immer auf der Suche nach einem Beispiel. Aber bisher erfolglos... smile
Gruß
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Dann formulier mit Cauchy-Hadamard doch mal, was für dein gesuchtes Beispiel gelten müsste.

Dann wären wir einen Schritt weiter und können überlegen, ob es sowas gibt oder nicht.

Grüße Abakus smile
_-Alex-_ Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich überlege im Moment noch an der ersten Teilaufgabe, nämlich der, dass ich zeigen soll dass der Konvergenzradius von , ich nenne ich jetzt mal größer als ist. Also ich suche noch kein konkretes Beispiel.

Ich wollte das jetzt mit der Cauchy-Hadamard Formel machen. Aber ich komm da irgendwie nie auf ein > wenn ich da was versuch auszurechnen.
Zunächst gilt ja:



Immer wenn ich jetzt irgendwie versuche auszurechnen

Komme ich immer auf , aber nie auf ein >.
FAUPhy Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
ja also wir glauben auch, dass es so über die Cauchy-Hadamard Formel geht, zumindest ist uns auch nichts anderes eingefallen.
Das Problem bei deinem Beweis ist glaube ich, der 4 Schritt in deiner letzten Zeile, also das auseinanderziehen des Limes Superior (LS).
Der LS ist ja der größte Grenzwert einer konvergenten (Teil)folge.
Wenn du jetzt als erstes den LS EINZELN von den beiden Folgen bildest und erst DANN multiplizierst, so ist dies immer kleiner gleich des Limes superior der neuen Folge c_n=a_n*b_n. Denn du multiplizierst die Folgenglieder ja seperat. Da kann natürlich jetzt maximal wieder der Fall (I) auftreten, aber eben auch, dass die Folgenglieder von c_n kleiner werden.
Defacto: limsup(c_n) <= limsup(a_n)*limsup(b_n)
und damit die Kehrwerte bzw. Konvergenzradien eben >=.
Das war zumindest unser Ansatz.
Wenn du noch irgendwas zu den Beispielen findest, wär super wenn du's posten könntest.
Denn da komm ich echt nicht weiter.
Viele Grüße
FAUPhy Auf diesen Beitrag antworten »

@ Abakus
Ja ich suche jetzt ja eine Folge a_n und eine Folge b_n, die zusammen multipliziert einen echt größeren Konvergenzradius bilden als die von a_n bzw b_n sperat multiplzierst.
z.B. a_n = n! hat einen KR R=0
und b_n = 1/n! hat einen KR R'=unendlich

zusammen: n! * 1/n! = 1 hat KR R_a=1
Aber 0*unendlich ist nicht definiert.
Ich hab schon so viele Reihen aufgestellt, aber ich finde einfach keines. Es wäre jetzt echt super, wenn du mir die eine Folge a_n nennen kannst, falls du es wissen solltest.
Denn ich komm nicht drauf, sonst würd ich hier echt nicht fragen smile
Viele Grüße
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