Bestimmung der kleinsten Fläche die von Gerade und Parabel eingeschlossen wird

22.01.2011, 16:51

Chief Infector

Bestimmung der kleinsten Fläche die von Gerade und Parabel eingeschlossen wird

Meine Frage:
Aufgabenstellung:
Bestimme den Anstieg m einer durch $\begin{eqnarray*} P(-1;1) \end{eqnarray*}$ verlaufenden Geraden so, daß der Inhalt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ des von dieser Geraden und der Parabel $\begin{eqnarray*} 2*y=x^2 \end{eqnarray*}$ begrenzten Bereichs minimal wird! Wie groß ist $\begin{eqnarray*} A_{min} \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Meine bisherige Vorgehensweise:

1. Skizze anfertigen:
[attach]17720[/attach]

2. Aufstellen der Geradengleichung:
$\begin{eqnarray*} y=m*(x+1)+1; \end{eqnarray*}$

3. Gleichsetzen von Geraden und Parabelgleichung zur Ermittlung der Schnittpunkte bzw. den Integrationsgrenzen von x:
$\begin{eqnarray*} x^2-2*m*x-2*m-2=0; \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=m-sqrt((m+1)^2+1); \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=m+sqrt((m+1)^2+1); \end{eqnarray*}$

4. Flächenintegral aufstellen:
$\begin{eqnarray*} A(m)=\int_{x=x_{1}}^{x_{2}} \! \int_{y=1/2*x^2}^{m*(x+1)+1} \! \, dy \, dx; \end{eqnarray*}$

5. Ableitung der Fläche bilden und nullsetzen um Minimum von m zu bestimmen:
$\begin{eqnarray*} A'(m)=0; \end{eqnarray*}$

Das Problem:
Die Gleichung die ich erhalte wird sehr umfangreich und damit zeitaufwendig zu lösen, so daß ich befürchte einen Fehler gemacht zu haben.

Meine Bitte:
Vielleicht sieht jemand einen Fehler oder kennt eine andere Möglichkeit als meine Vorgehensweise die minimale Fläche und m zu bestimmen und postet sie hier im Forum.

Vielen Dank

22.01.2011, 18:08

corvus

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RE: Bestimmung der kleinsten Fläche die von Gerade und Parabel eingeschlossen wird

Zitat:

Original von Chief Infector

Aufgabenstellung:
Bestimme den Anstieg m einer durch $\begin{eqnarray*} P(-1;1) \end{eqnarray*}$ verlaufenden Geraden so,
daß der Inhalt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ des von dieser Geraden und
der Parabel $\begin{eqnarray*} 2*y=x^2 \end{eqnarray*}$ begrenzten Bereichs minimal wird!
Wie groß ist $\begin{eqnarray*} A_{min} \end{eqnarray*}$ ?

.. eine andere Möglichkeit als .. smile

zuerst:
- bei der Zeichnung ist es wohl suboptimal, ausgerechnet einen Spezialfall von g
einzutragen..

für die weiteren Überlegungen :
Parabel $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{2}x^{2} \end{eqnarray*}$
Gerade g: $\begin{eqnarray*} y=m*(x+1)+1; \end{eqnarray*}$
Schnittpunkte:
A(a ; f(a)) mit a<-1 und B(b ; f(b)) mit b>-1
zu betrachtende Fläche :
F= Trapezfläche ( von A bis B unter g) minus Fläche unter f (von a bis b)

Berechne damit F (in Abhängigkeit von a und b)
[Ergebnis zB: F=(b-a)³/12 .. oder so..]

und ersetze dann a und b ausgedrückt durch m ...
usw ..

probiers vielleicht mal so weit.
.

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