Polynomdivision Modulo 2

22.01.2011, 17:23

w³

Polynomdivision Modulo 2

Hallo!

Ist folgende Rechnung richtig?

Aufgabe:
Führen Sie die Division mit Rest in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2[x] \end{eqnarray*}$ durch

für $\begin{eqnarray*} (x^5+1) : (x^2+1) \end{eqnarray*}$

Rechnung:
$\begin{eqnarray*} (x^5+1) : (x^2+1) = (x^3-x) Rest (x+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(x^5+x^3) \end{eqnarray*}$
___________
$\begin{eqnarray*} -x^3+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(-x^3-x) \end{eqnarray*}$
___________
$\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$

Um die Lösung zu erhalten müssen jetzt noch der Wert des Quotienten $\begin{eqnarray*} (x^3-x) \end{eqnarray*}$ sowie der Rest $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ Modulo 2 gerechnet werden.
Also: $\begin{eqnarray*} (x^3-x) =>0 \end{eqnarray*}$ (dieser Ausdruck ergibt immer Null)

Somit ist die Lösung $\begin{eqnarray*} (x^5+1) : (x^2+1) = 0 Rest (x+1) \end{eqnarray*}$

Gruß

@Admin: Hatte diesen Beitrag versehentlich unter "Schulmathematik" reingestellt, den könnt ihr dort rauslöschen.

[mY+]: Der dortige Thread wurde mit einem Link hierher versehen und geschlossen.

22.01.2011, 21:10

Reksilat

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RE: Polynomdivision Modulo 2

Zitat:

Original von w³
Also: $\begin{eqnarray*} (x^3-x) =>0 \end{eqnarray*}$ (dieser Ausdruck ergibt immer Null)

Das ist Quatsch! Die Auswertung des Polynoms an jeder Stelle ergibt vielleicht Null, aber deshalb ist das Polynom noch lange nicht das Nullpolynom.
Es ist und bleibt $\begin{eqnarray*} x^3-x \end{eqnarray*}$ , bzw. $\begin{eqnarray*} x^3+x \end{eqnarray*}$ , da es modulo 2 überflüssig ist, ein Minus zu schreiben.

Die Probe ergibt:
$\begin{eqnarray*} (x^3+x)(x^2+1)+(x+1)=x^5+1 \end{eqnarray*}$
Deine Rechnung war also korrekt.

Gruß,
Reksilat.

PS: Und anstatt einen Thread doppelt zu eröffnen, schreibe lieber einen Mod an, der gerade online ist. Der verschiebt das gerne und es erspart uns Arbeit.
Um zu sehen welcher Mod online ist:

23.01.2011, 11:38

w³

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RE: Polynomdivision Modulo 2

Zitat:

Original von Reksilat

Zitat:

Original von w³
Also: $\begin{eqnarray*} (x^3-x) =>0 \end{eqnarray*}$ (dieser Ausdruck ergibt immer Null)

Alles klar - vielen Dank!

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