Lineare Abbildungen |
22.01.2011, 19:35 | Broly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Lineare Abbildungen brauche hilfe bei folgender Aufgabe =) (a) Gegeben sei die Abbildung g, die jedem Studenten der Universität eine Matrikelnummer zuordnet, die zwischen 10 000 000 und 99 999 999 liegt, d.h: g : Menge der Studenten der Universitätl -> { 10 000 000;.......; 99 999 999} x-> Matrikelnummer(x) Ist g injektiv? surjektiv? bijektiv? Hier bin ich ab überlegen ob es injektiv oder bijektiv ist. Bijektiv wäre es aber nur wenn es genau 99 999 999 Studenten geben würde oder? Somit ist es injektiv weil jede Matrikelnummer höchstens ein mal vergeben ist? (b) Die lineare Abbildung wird für alle Vektoren gegeben durch: (i) Wie lautet die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basen des R3 und des R2? (ii) Bestimmen Sie den Kern von f (Nullraum) und bestätigen Sie die Dimensionsformel. (iii) Ist f injektiv? Wie geh ich hier vor hat i.wer Quellenangaben^^? Ansonsten würde ich raten und einfach folgendes tun ^^ - was aber sicherlich falsch ist (I) und (ii) Das könnte ich unter umständen ;D da müsste ich aber erst die (i) genau machen. (iii) muss ich die davor erst machen (c) Gegeben sei im R^3 die Basis Eine lineare Abbildung ssei durch folgende Festlegung gegeben: (2) Ziel ist es, die Matrix A mit der Eigenschaft für alle zu bestimmen, d.h die Matrix von f bezüglich der kanonischen basis (i) Bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der Basis B. (ii) Schreiben Sie die Vektoren v1 , v2 und v3 mit Hilfe der Vektoren e1, e2, e3 der kanonischen Basis des R^3. (iii) Zeigen Sie, dass f (), f () und f ()) Lösungen des folgenden Gleichungssystems S sind: (Man kann dafür (i i) und (2) benutzen ) (iv) Lösen Sie S und leiten Sie heraus die Matrix A her. Hier habe ich gerade noch keine Idee^^ Grüße und danke^^ bin für jeden Tipp sher dankbar |
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22.01.2011, 19:45 | hnky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hallo, zur a) ich meine mich erinnern zu können, dass diese aufgabe in den letzten tagen schon einmal gepostet wurde. vielleicht kannst du sie hier ja finden. zur b) i) es gilt der allgemein bekannte satz: um eine abbildungsmatrix zu erstellen, musst du die basis des urbildbereichs(=definitionsbereich) abbilden, und als linearkombination der bildbereichsbasis(=wertebereich) darstellen. dadurch erhälst du jeweils eine spalte der gesuchten matrix. es ist hierbei bloß eine einzige matrix gesucht, die 2. , die du gepostet hast, ist (zufälligerweise) richtig. mehr zu dem thema: siehe hier. ii) den Kern einer matrix(bzw. der induzuierten abbildung) berechnet sich leicht mit dem gauß algorithmus. iii) wenn du teil ii) gemacht hast, ist teil iii) kein problem mehr (Warum?) zur c) ich würde vorschlagen, du beschäftigst dich erstmal mit aufgabe b), dann kannst du von der c) schon einiges selber lösen. gruß, hnky edit: zu teil a) wurde hier bereits einiges gesagt. ich würde vorschlagen, dass du den thread weiterführst, falls noch probleme mit teil a) auftreten. |
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22.01.2011, 21:00 | chillerStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn ich den Kern berechnen will komm ich immer auf 0 mit einem Gleichungssystem ?!! Ist der Kern null? |
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22.01.2011, 21:00 | Kivv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sitz auch gerade noch an der Aufgabe a) g ist injektiv, da jeder Student nur eine Matrikelnummer hat g ist aber nicht surjektiv, da nicht jede MÖGLICHE Matrikelnummer einem Studenten zugeordnet werden kann. Bei der b) komm ich dann aber schon ins straucheln, (i) ist soweit np. Hab mir nu schon einiges zum Kern von Abbildungen angeschaut, hat mir hier aber nicht wirklich geholfen. Forme ich die Abbildungsmatrix um erhalte ich Rang der Matrix imho 1 also folgt aus dimKer(A)=dim(R^3)-dim rang(A)=3-1=2 Wie komm ich nun zum Kern der Matrix? Da die Dimension 2 ist, müsste er aus 2 Vektoren bestehen. Ich hab ja aber nur eine Gleichung mit 3 Unbekannten also: 5*x - 3*y -1z = 0 ... Sehe halt, dass ich den Nullvektor mit bilden kann... aber wie komm ich mit Rechnung dahin? Zudem hätte dann ja der Kern die Dimension 1 Total verwirrt |
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22.01.2011, 21:11 | chillerStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn ich jetzt mit dem Gauß rechne, ist die untere zeile eine nullzeile. Ich vermute nun, dass der Kern 5x-3y-z=0 ist. Kann mir das jemand bestätigen? |
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22.01.2011, 21:28 | hnky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
der kern einer abbildung(bzw. matrix) ist selber wieder ein (unter)vektorraum. ihr habt recht damit, dass ihr die gleichung lösen müsst. dazu wählt ihr 2 parameter, beispielsweise a und b, und setzt ,, und löst nach x auf. da der kern ein untervektorraum ist, müsst ihr, wenn ihr den Kern berechnen wollt, eine basis des kerns angeben. die anzahl der gewählten parameter zeigt euch direkt schon die dimension des kerns, nämlich 2. somit könnt ihr teil 3 der aufgabe auch schon direkt beantworten, denn es gibt einen zusammenhang zwischen dem kern und injektivität. |
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22.01.2011, 21:57 | Kivv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich versteh nicht wie ich aus dann auf nen Vektor komme, der A*x=0 lösen soll Geschweige denn wie ich daraus dann ne Basis konstruiere. Was ist denn mit dem von mir Vorgeschlagenen Vektor der löst das LGS doch auch oO Verstehe das mit den Parametern nicht, und allgemein was diese mir bringen sollen. |
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22.01.2011, 22:09 | hnky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
der von dir vorgeschlagene vektor löst zwar das gleichungssystem, doch dieser vektor allein stellt keine basis dar. nicht-mathematisch formuliert solltest du so vorgehen: 1) erhalte die gleichung 2) schreibe dir soviele vektoren hin, wie du parameter hast. 3) beginne mit dem parameter "a"(wahlweise auch b, die reihenfolge spielt bei einer basis keiner rolle) 4) nun schaust du dir die erste koordinate deines vektors an, das ist in deinem fall die x-koordinate. jetzt nimmst du den koeffizienten von a und schreibst ihn in die erste koordinate des vektors. entsprechend für die anderen koordinaten und den parameter "b". und damit erhälst du eine basis des kerns. |
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22.01.2011, 22:12 | chillerStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also: Richtig? Ist das der Kern? |
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22.01.2011, 22:23 | hnky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
nein, das ist leider falsch. der kern einer linearen abbildung ist ein untervektorraum des urbildbereichs, also des definitionsbereichs, in deinem fall also ein untervektorraum von |
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22.01.2011, 22:26 | chillerStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Und das: Ist nicht geraten |
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22.01.2011, 22:30 | hnky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
das ist immer noch falsch.
es kommt mir allerdings so vor. |
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22.01.2011, 22:32 | chillerStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wie kommt man auf die anderen koeffizienten? |
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22.01.2011, 22:35 | hnky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
es ist |
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22.01.2011, 22:37 | Kivv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also Ich sitz nun gute 10h daran, hauptsächlich weil ich mir den ganzen Stoff zusammensuchen musste Glaub ich hau mich erstmal hin, weil im Grunde müsste ich das mit den Parametern schon x-mal gemacht haben Edit: @ChillerStudent: Mit a=z und b=y hast doch die Parameter schon festgelegt, somit einfach in die Vektoren einsetzen. |
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22.01.2011, 22:39 | hnky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ja, in meiner formulierung von oben steht für das erzeugnis der beiden vektoren, also die menge der linearkombinationen, die man mit den beiden vektoren bilden kann. |
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22.01.2011, 22:40 | chillerStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
b ist falsch. Du hast zähler und nenner vertauscht. Ich versteh aber trotzdem nicht wo y=0*a + 1*b herkommt?? wurde 0 und 1 willkürlich gewählt? |
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22.01.2011, 22:42 | hnky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ich habe einfach die parameter "a" und "b" eingeführt, damit ich die x-koordinate nach dem beiden parametern auflösen konnte. genausogut hätte man sie auch anders nennen kennen, das spielt alles keine rolle, wichtig ist bloß, dass ihr versteht, was ihr da macht. |
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22.01.2011, 22:47 | chillerStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
War das eigentlich nötig, a und b einzusetzen, weil man könnte ja genauso mit y und z rechnen oder? |
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22.01.2011, 22:57 | hnky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
es gibt sicherlich auch andere möglichkeiten, das ganze aufzulösen. ich habe mich für die möglichkeit mit den parametern entschieden, da ich es so übersichtlicher finde. wenn dir eine andere möglichkeit mehr zusagt, kannst du diese natürlich auch benutzen. |
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22.01.2011, 22:58 | Kivv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Y und Z sind frei wählbar, es geht einfach darum sie in Abhängikeit zu X zu setzen, daher die Parameter. Man könnte das ganze auch einfach nach y oder z auflösen, die Vorgehensweise bleibt gleich. Hoffe ich hab das nun geblickt, EINE Basis von Kern(f) wäre dann |
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22.01.2011, 23:04 | chillerStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das heißt, ich könnte auch folgendes schreiben: y = 7*a + 3*b z = 25*a + 362*b ??? Wenn ja, dann vielen Dank an euch beiden Kivv, wenn du lust hast komm morgen wieder, möchte gern die anderen Ergebnisse vergleichen :-) |
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22.01.2011, 23:04 | hnky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ja, das stimmt soweit. was lässt sich demnach über die injektivität aussagen? |
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22.01.2011, 23:08 | chillerStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich glaube f ist nicht injektiv, weil kein wert wird im urbild angenommen. |
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23.01.2011, 09:09 | chillerStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Bei der Aufgabe c) (i) und (ii) habe ich folgendes: Die Matrix f bezüglich der Basis B: (ii) v1=e1+e2+e3 v2=e1+e3 v3=e3 Sind die die beiden Ergebnisse richtig? |
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23.01.2011, 10:23 | hnky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
das stimmt
die begründung verstehe ich allerdings nicht. überleg mal eher in diese richtung: was wird durch eine lineare abbildung immer auf die 0 abgebildet?was hat das mit injektivität zu tun?welche dimension hat der raum, der von diesem/diesen element(en) erzeugt wird? und vergleich mit teilaufgabe ii.
das ist korrekt
v1 ist leider nicht richtig, ich denke aber, dass du es dir richtig überlegt hast, allerdings das falsche vorzeichen beim posten genommen hast gruß, hnky |
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23.01.2011, 10:52 | chillerStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Habe gerade im wiki nachgelesen: Der Kern ker(f) der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus V, die durch f auf den Nullvektor von W abgebildet werden. Er ist ein Untervektorraum von V. Die Abbildung f ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält. Aber kannst du mir bitte nochmal in dem Zusammenhang erklären, was genau injektivität ist? |
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23.01.2011, 11:49 | hnky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
zur definition: hier anschaulich gesagt, bedeutet das, dass keine 2 verschiedene punkte das selbe bild haben, oder anders ausgedrückt, wenn sie das gleiche bild haben, dann sind auch die punkte gleich. wenn der kern nur den nullvektor enthält, hat der kern also dimension 0(das ist per definition so). hier ist die dimension des kerns allerdings 2, wie in teil ii berechnet wurde. das heißt, dass du jedes element, das im kern der abbildung liegt, darstellen kannst als linearkombination der basisvektoren des kerns, also ist beispielsweise ein element des kerns, wobei die beiden basisvektoren des kerns sind, die oben berechnet wurden, und . hier wird also durch die abbildung jedes element, das sich so darstellen lässt, auf die 0 abgebildet, eben weil . da per definition einer linearen abbildung(wie du hier nachlesen kannst) die 0 immer auf die 0 abgebildet wird, kann die abbildung also nicht injektiv sein, da dies sonst bedeuten würde, dass ist, was allerdings nicht immer der fall ist. |
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23.01.2011, 11:53 | chillerStudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Super Erklärung!! Thanks!! |
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23.01.2011, 19:08 | Broly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Muss hier noch mal kurz was zu b) ii schreiben also dem Kern von f. Also wie die anderen komme ich über Gauß auf: und das mit den Variablen/Parametern einsetzen und umstellen nach x habe ich auch verstanden und genauso . ( nur andere variablen ^^) Allerdings verstehe ich nun wirklich nicht woher das kommt? |
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23.01.2011, 19:18 | hnky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
bekanntlich ist und . genausogut kann man eine 0 zu einer gleichung hinzuaddieren, ohne dass sich etwas ändert. edit: du hast die parameter vertauscht, so, wie du es jetzt gepostet hast, stimmt es natürlich nicht. |
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23.01.2011, 20:03 | Broly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
okay okay , war wegen dem hier verwirrt : aber da die person erst b dann a geschrieben hat(waurm auch immer ) macht es Sinn. hatte dei ganze Zeit überlegt wegen der Matrix aber es hat nicht gepasst ^^ so rum passt es nun. Danke schon mal |
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23.01.2011, 21:26 | Broly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also ich verstehe hier gar nix ;D das mit der Injektivität lass ich erst mal weg und gehe mal weiter zur c) hier hab ich überhaupt keine Ahnung was ich machen soll! erst war ich am überlegen zu rechnen und dann hier die rechte Seite nach umzuformen und das das linke dann das Ergebnis der gesuchten Basis ist... für v2 wollte ich dann nach und für v3 nach umformen...Aber oh wunder oh wunder ^^ es klappt natürlich nicht ;D wäre auch zu schön gewesen wenn ich mal ne richtige idee gehabt hätte ;D und was sollen bei (ii) bitte die e's sein?^^ |
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23.01.2011, 21:46 | hnky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
zur c) du hast eine basis sowie eine abbildung gegeben und möchtest die abbildungsmatrix in teil i bestimmen. dazu musst du zunächst einmal die bilder einzelnen basis vektoren berechnen. die abbildungsvorschrift ist explizit gegeben, also musst du nur noch einsetzen und ausrechnen. danach musst du die bilder der einzelnen basisvektoren als linearkombination der basis (in diesem fall ist das wieder die gleiche basis) darstellen, und erhälst dadurch die koordinaten der bilder. diese trägst du dann als spalten in eine matrix ein. diese matrix wird die abbildungsmatrix der abbildung werden. wenn du die bilder der basisvektoren berechnet hast, solltest du wie folgt vorgehen: du benötigst hier eine sogenannte erweiterte koeffizientenmatrix, also eine matrix mit einer rechten seite. die matrix besteht aus den basisvektoren (in den spalten), die rechte seite aus dem bild des entsprechenden basisvektors. das ganze dann per gauß lösen und fertig zu teil ii) die sind sogenannte standardbasisvektoren, diese sind von besonders einfacher gestalt und leicht zu merken. im vorliegenden fall ist , ,. es befindet sich also immer eine 1 an position i. edit: was ist an der injektivität noch unklar? |
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23.01.2011, 23:44 | Kivv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Huhu muss hier kurz einhaken. Bei c) (i) ist nicht nach der Matrix bezüglich der kanonischen Basis gefragt sondern von der Basis B. Damit denke ich ist Teil (i) nach dem Einsetzen schon abgeschlossen: Die Matrix ist meiner Meinung nach erst im Endteil gefragt, anders ergibt das für mich keinen Sinn |
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24.01.2011, 00:26 | Kivv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok. obiges ist wohl doch falsch, kp was ich bei (iii) und (iv) falsch mache, aber ich bekomm nichts brauchbares raus. ist ja noch ok, kann man ja einfach aus der Matrix ablesen.. Beim Rest f(e2),f(e1) komm ich aber nicht auf die Spalten 1 und 2 der Matrix aus (i). Hab ich da nen Denkfehler? Was mir die Abbildungsvorschrift (2) bei (iii) noch helfen soll ist mir auch unklar, ihmo hab ich ja schon mit der Matrix A die Abbildung. |
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24.01.2011, 01:39 | Kivv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So endlich fertig... (i) Ich bin mir ziemlich sicher das (i) damit erledigt ist... Wenn dem nicht so sein sollte, bitte ich um ne Erklärung. (ii) v1=e1+e2-e3 v2=e1+e3 v3=e3 (iii) e1=v2-v3 e2=v1-v2+2*v3 e3=v3 f(e1)=f(v2)-f(v3) f(e2)=f(v1)-f(v2)+2*f(v3) f(e3)=f(v3) Das LGS geht damit auf! (iv) Einfach f(e1),f(e2),f(e3) Spaltenweise in die Matrix schreiben. Nachti |
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24.01.2011, 09:41 | hnky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
zur (i) in der aufgabenstellung ist nach der matrix bezüglich der basis B gefragt, das heißt, es ist die gesucht, also eine matrix, die vektoren, die in koordinaten bezüglich der basis B geschrieben sind, wieder in koordinaten bezüglich der basis B umrechnet. d.h. man ist hier nicht direkt nach dem ausrechnen der bilder fertig, denn dann würde man erhalten, also eine matrix, die vektoren in koordinaten bezüglich der basis B in die vektoren bezüglich der basis S (hiermit meine ich die standardbasis) umrechnet. also müssen die bilder der basisvektoren als linearkombination der basis dargestellt werden, oder anders gesagt, die koordinaten der bilder der basisvektoren müssen bezüglich der basis B berechnet werden. das führt auf das lösen von 3 gleichungssystem(bzw. erw. koeffizientenmatrizen) und führt zu der matrix, wie sie bereits auf der letzten seite gepostet wurde, nämlich zur (ii)
stimmt zur (iii)
ich habe es jetzt zwar nicht überprüft, aber die idee ist richtig und du hast auch die linearität der abbildung ausgenutzt, und wenn es aufgeht, sollte es auch richtig sein zur (iv) hier ist nach aufgabestellung die matrix A gesucht, die erfüllt. dies ist äquivalent dazu, dass die abbildungsmatrix von f bezüglich der standardbasis gesucht wird, also (hier bezeichnet E die standardbasis). trivialerweise reicht es also, lediglich die bilder der standardbasis zu berechnen und diese spaltenweise in eine matrix zu schreiben. demzufolge müsste die von dir gepostete matrix richtig sein, obwohl ich gerade nicht nachgerechnet habe. gruß, hnky |
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