irgendwo bei der JNF verrechnet

22.01.2011, 20:00

Hm?

irgendwo bei der JNF verrechnet

moin,

ich versuche gerade den fehler in meiner jordannormalform zu finden, die matrix ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & -3 \\ 4 & -1 & 3 &-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die vier eigenwerte sind alle 0, da kann ich mich nicht verrechnet haben, da ich dass nochmal mit nem javaskript überprüft habe.

1. möglicher fehler:
$\begin{eqnarray*} Kern(A-0I)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =span{e3+e4} \end{eqnarray*}$

beim bestimmen des kerns hab ich immer nen ungutes gefühl

2. möglichkeit:
$\begin{eqnarray*} Kern((A-0I)^{2})=kern(A^{2})= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = span{e1,e2,e3,e4} \end{eqnarray*}$

bitte schaut kurz nach ob ich in 1. oder 2. eienn kleinen fehler eingebaut habe, falls alles richtig ist, würde dass heißen das meine jordankette falsch ist... und das wäre ziemlich schlecht

ich hab das tutorium diese woche leider verpasst, die rede war von einer proberechnung mit der man checken kann, ob dir JNF richtig ist, kennt die jemand vielleicht?

22.01.2011, 20:41

Hm?

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RE: irgendwo bei der JNF verrechnet
falls ihr hier keienn fehler seht, bitte bescheid geben, dann weiß ich, dass er nur in meiner jordankette liegen kann smile

22.01.2011, 20:48

Iorek

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Es wäre für dich vielleicht hilfreich, wenn du das demnächst in den Hochschulmathematikforen posten würdest, in der Schulmathematik hat die Jordannormalform nichts verloren.

Verschoben.

22.01.2011, 20:49

Hm?

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RE: irgendwo bei der JNF verrechnet
hm, ich hab dann die vektoren e1,e2,e3 genommen und jeweils mit A multipliziert, damit hatte ich dann zusammen mit dem vektor e3+e4 vier vektoren die ich zusammen als matriox geschrieben habe, leider war diese nicht invertierbar, was heißt dass ich mich verrechnet haben muss

kann mir jemand helfen oder mir einen guten link schicken, falls ich den JNF-algorhitmus falsch interprätiert habe?

22.01.2011, 21:50

jester.

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Dass du ein ungutes Gefühl beim Berechnen des Kerns hast, ist nicht verwunderlich, dein erstes Ergebnis ist falsch - von der Schreibweise mal ganz abgesehen.

Du schreibst

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Kern(A-0I)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =span{e3+e4} \end{eqnarray*}$

Diese Matrix, die dort steht, ist in dieser Form bzw. Notation sinnlos, da der Kern ein Vektorraum ist. Du meinst sicherlich, dass der Kern von A der Kern dieser Matrix ist. Dann ist das Ergebnis jedoch offensichtlich falsch, denn der Rang der angegebenen Matrix ist 2, die Dimension des Kerns ist also auch 2.

Diese Information liefert zusammen mit $\begin{eqnarray*} A^2=0 \end{eqnarray*}$ schon die Gestalt der Jordan-Form. Wenn du nur diese suchst, bist du natürlich dann fertig. Falls du auch die Transformationsmatrix suchst, liefert dir diese natürlich eine Kontrollmöglichkeit, die jedoch sicherlich etwas langwierig ist: Es ist ja $\begin{eqnarray*} SAS^{-1}=J \end{eqnarray*}$ , wo $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ die Jordanform von A ist. Dann kannst du als Probe nachrechnen, ob $\begin{eqnarray*} SA=JS \end{eqnarray*}$ ist (also ohne $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ zu invertieren).

22.01.2011, 22:07

Hm?

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danke für die antwort Big Laugh

hm, dann ist mein erster fehler also, dass falsche berechnen des kerns (eigenraums, bzw weiß ich gerade nicht die richtige bezeichnung... ich versuche dieses standart verfahren für de JNF hinzukriegen)

ich hatte die Matrix (A-0I) einfach per gauss auf die treppennormalform gebracht und dann die gepostete matrix herausbekommen

bis zu dieser matrix werde ich mich wahrscheinlich nicht verrechnet haben (bins zweimal durchgegangen), also habe ich den kern falsch abgelesen? kannst dsu mir kurz sagen, wie man einen kern von einer treppennormalmatrix ablesen kann (ich hab sowas in lina1 nie machen müssen.., und dachte dass ich den einfach wie bei einer normalen koeffizienten matrix ablesen kann)?

22.01.2011, 22:19

jester.

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Also ich behaupte mal, dass das Lösen eines linearen Gleichungssystems in ausnahmslos jeder LA1-Vorlesung vorkommt. Du musst hier das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lösen. Falls du das nicht kannst, solltest du das dringend wiederholen.

Alternativ kann man versuchen, bei Kenntnis der Dimension des Kerns, einfach zwei linear unabhängige Vektoren, die im Kern liegen, zu "sehen". Das ist mit der von dir (richtig) berechneten Zeilenstufenform auch nicht sehr schwer.

Was du mit einer "normalen Koeffizientenmatrix" meinst, ist mir gerade nicht ganz klar. Aber wie auch immer - löse einfach mal das oben angegebene Gleichungssystem.

Suchst du denn nun eigentlich nur die Gestalt der JNF oder auch eine Transformationsmatrix?

22.01.2011, 22:41

Hm?

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mit koeffizientenmatrix meine ich [A,x], x wäre in diesem fall 0, quasie dass was mit gaus bereits gemacht wurde (da x=0, so dass der gaussalgorithmus nix an x verändert)

ich suche die transformationsmatrix, diese wollte ich dann infertieren und damit dann P^1AP=J(A) berechnen.

wenn ich das GL.Sy. der matrix aufstelle steht da:
x1+x3-x4=0
x2+x3-x4=0
x3=beliebig aus C
x4=belibig aus C
...

der kern K müsste folgenes erfüllen: A*K=0

dieses K bringe ich nicht zu stande, nur K=e3+e4 würde gehen

wenn ich diesen kern habe mache ich:
schauen welche dimension er hat und ist diese kleiner als die algebraische vielfachheit von (0,A) berechne ich: kern((A-0I)^2)

was aufgrund des eigenwertes 0 das selbe wäre wie kern von A^2 =0, dieses hätte wiederum e1,e2,e3,e4 als kern

meine transformationsmatrix bau ich mir dann aus:
"kern((A-0I)^2)" in einer matrix P zusammen mit mit den noch nötigen vektoren (bis die algebraische vielfachheit erreicht ist,also 4), die ich mir aus kern((A-0I)^2) hole und mit (A-0I) multipliziere

22.01.2011, 22:46

jester.

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Zitat:

Original von Hm?
dieses K bringe ich nicht zu stande, nur K=e3+e4 würde gehen

Es ist doch auch z.B. $\begin{eqnarray*} A(e_1+e_2-e_3)=0 \end{eqnarray*}$ . Mir scheint dir fehlen wirklich Grundlagen, die das Weiterarbeiten hier sehr erschweren.

Kannst du mit diesem weiteren Vektor eine Transformationsmatrix aufstellen?

22.01.2011, 23:08

Hm?

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au, danke jetzt hab ich was gutes gelernt ^^

für die transformationsmatrix brauche ich jetzt noch zwei "vektoren", da ich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

habe die algebraische vielfachheit allerdings 4 ist.

also berechne ich kern((A-0I)²)=kern(A²)=0=span{e1,e2,e3,e4}

daraus wähle ich mir jetzt zwei vektoren, da dim(kern(A^2))-dim(kern(A-0I))=2.

diese vektoren müssen linearunabhänigig zu den obrigen beiden sein. ich wähle e2 und e3
dann berechne ich:

(A-0I)=A*e2= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(A-0I)=A*e3= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und baue damit mein P= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 &-1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dass müsste ich jetzt invertieren und dann P^-1AP rechnen, wäre das so richtig? mein übungsleiter hat auf die kursseite geschrieben, dass wir eine probe verwenden sollen um zu prüfen ob unsere JNF richtig sein, kennst du zufällig eine? habs leidern icht in übung oder tutorium gfeschaft (programieraufgabe war wichtiger)

vorwissen hab ich, allerdings etwas anders als bei den meisten anderen ^^ also lina1 hab ich bestanden, kenne mich allerdings weit besser mit beweisen aus als mit "rechnen", weil ich beim rechnen immer irgendwas nicht hinkriege, entweder durch eienn rechen oder systemfehler...

22.01.2011, 23:15

jester.

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Das von dir angegebene $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ist singulär, also keine Transformationsmatrix. Du musst zwei Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \ker(A^2) \end{eqnarray*}$ so auswählen, dass ihre Bilder unter $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ linear unabhängig zu den Vektoren in $\begin{eqnarray*} \ker A \end{eqnarray*}$ sind.

Zu einer möglichen Probe habe ich ja oben schon etwas geschrieben.

22.01.2011, 23:33

Hm?

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & -1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wäre die richtig? müsdste invertierbar sein (habs kurz überschlagen)

mein wissen nehme ich gerade von dem ding hier:

http://www.math.tu-berlin.de/Vorlesungen...rechnungJNF.pdf

seite 11, da unter dem strenchen in der mitte. dass zur probe hab ich entdeckt, danke smile

22.01.2011, 23:46

jester.

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Diese Matrix ist zwar invertierbar, sie transformiert $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ jedoch nicht auf JNF.

Also mal schrittweise. Wir wollen zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} v,w \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \ker(A^2)\setminus \ker(A) \end{eqnarray*}$ auswählen, sodass $\begin{eqnarray*} (v,Av,w,Aw) \end{eqnarray*}$ invertierbar ist.

Du hast $\begin{eqnarray*} v=(1,1,-1,0)^{tr} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w=(0,1,1,-1)^{tr} \end{eqnarray*}$ vorgeschlagen, diese liegen jedoch schon im Kern von A.

Versuchen wir doch mal einfach $\begin{eqnarray*} v=e_1, ~w=e_2 \end{eqnarray*}$ . Dann sind $\begin{eqnarray*} Av, ~Aw \end{eqnarray*}$ die erste und zweite Spalte von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und die Matrix $\begin{eqnarray*} (v,Av,w,Aw) \end{eqnarray*}$ ist invertierbar (überzeuge dich von dieser Tatsache) und transformiert $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in ihre JNF.

Wie sieht die Jordan-Form von A übrigens aus?

23.01.2011, 00:20

Hm?

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ich komme rechnerisch auf

0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0

eventuell habe ich mich irgendwo vertan, den ich hätte eher die hier erwartet:

0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0

aufjedenfall vielen danke für deine hilfe, jetzt versteh ich diese eine skriptstelle erst richtig smile

23.01.2011, 00:37

jester.

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Nein, du hast dich nicht vertan, wenn du Lust hast, rechne noch mit $\begin{eqnarray*} (Av,v,Aw,w) \end{eqnarray*}$ und staune. Augenzwinkern

Oder konjugiere die von dir errechnte JNF alternativ noch mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}&&&1 \\ &&1& \\ &1&& \\ 1&&&\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

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