Übergangsmatrizen

22.01.2011, 22:35

guest1989

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Übergangsmatrizen

Hi!

Ich hab ein kleines Problem mit einer Aufgabe und würde mich über Hilfe freuen.

Bestimmen Sie die Matrizen $\begin{eqnarray*} M_{A}^{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_{B}^{B} \end{eqnarray*}$ der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} P_{3}\to P_{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{0}t^{0}+a_{1}t^{1}+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}\mapsto a_{1}t^{0}+a_{2}t^{1}+a_{3}t^{2} \end{eqnarray*}$ bzgl. der Basen $\begin{eqnarray*} A=\left \{ t^{0},t^{1},t^{2},t^{3} \right \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\left \{ t^{3},t^{2}(t-1),t(t-1)^2,(t-1)^{3} \right \} \end{eqnarray*}$ .

Wie lauten die Übergangsmatrizen T (stellt die Vektoren aus A als Linearkombination der Vektoren aus B dar) und S (stellt die Vektoren aus B als Linearkombination der Vektoren aus A dar)?

Also ich brauch einen Starttip... Das wäre echt super!
Danke!

23.01.2011, 12:18

Elvis

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Deine Ableitung stimmt ja gar nicht. unglücklich

unglücklich

23.01.2011, 16:32

guest1989

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Was meinst du?
Das ist die Aufgabe, die wir gestellt bekommen haben...

24.01.2011, 17:53

Mathefan1990

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Ich muss die selbe Aufgabe lösen und habe Probleme dabei die Basisvektoren zu bestimmen. Könnte mir da jemand einen Ansatz geben?

25.01.2011, 13:29

EnteWurzel

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Hii,

muss diese Aufgabe auch lösen.
Guest1989 hat sich beim Abschreiben etwas vertan. Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie die Matrizen $\begin{eqnarray*} M_{A}^{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_{B}^{B} \end{eqnarray*}$ der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} P_{3}\to P_{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{0}t^{0}+a_{1}t^{1}+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}\mapsto a_{1}t^{0}+2a_{2}t^{1}+3a_{3}t^{2} \end{eqnarray*}$ bzgl. der Basen $\begin{eqnarray*} A=\left \{ t^{0},t^{1},t^{2},t^{3} \right \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\left \{ t^{3},t^{2}(t-1),t(t-1)^2,(t-1)^{3} \right \} \end{eqnarray*}$ .

Wie lauten die Übergangsmatrizen T (stellt die Vektoren aus A als Linearkombination der Vektoren aus B dar) und S (stellt die Vektoren aus B als Linearkombination der Vektoren aus A dar)?

Einen Ansatz habe ich leider auch nicht gefunden.

25.01.2011, 18:20

guest1989

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Ah mist...
Tatsächlich...

Aber weiter gekommen bin ich bei dieser Aufgabe immernoch nicht...
Also wenn jemand was weiß, wäre ich dankbar Augenzwinkern

Augenzwinkern

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25.01.2011, 18:40

Elvis

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Siehst du, sag ich doch, dass deine Ableitung nicht stimmt. Big Laugh

Big Laugh

Nun da die Aufgabe dadurch sinnvoller geworden ist, dass wir sowieso wissen, dass Ableitungen lineare Abbildungen sind, müssen wir uns nur noch um die Darstellung linearer Abbildungen als Matrizen kümmern.
Dazu genügt im allgemeinen der Hinweis, dass in den Spalten der Matrix die Bilder der Basisvektoren stehen.

25.01.2011, 18:46

guest1989

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Und genau da liegt mein Problem.
Ich hab irgendwie keine Ahnung, wie man die Bilder der Basisvektoren bestimmt...
Wenn mir das jemand sagen könnte, wäre ich schon ein gutes stück weiter.

25.01.2011, 18:52

Elvis

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Kannst du doch ganz einfach berechnen, indem du die Basisvektoren nimmst, ableitest und in der Basis darstellst.

Beispiel $\begin{eqnarray*} \frac d {dt} t^2 =2t\Rightarrow \frac d {dt}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.01.2011, 19:13

guest1989

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Achso...ach Gott...
Jetzt hab ich es verstanden.
Ich versuche gleich mal die Aufgabe komplett zu lösen und wenn ich dann noch unsicher bin, frag ich hier nochmal nach.
Danke dir!

25.01.2011, 19:16

Elvis

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Zitat:

Original von guest1989
Achso...ach Gott...
Danke dir!

... zuviel der Ehre ... nicht "Gott" ... "Elvis" genügt ...

25.01.2011, 21:08

EnteWurzel

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Soo, habe den ersten Teil der Aufgabe jetzt fertig gerechnet und hoffe,dass ich das Prinzip verstanden habe.

Meine Ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} M_{A}^{A}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_{B}^{B}\begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 & 0 \\ -3 & 1 & 8 & 0 \\ 0 & -2 & -7 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} M_{B}^{B} \end{eqnarray*}$ bin ich immer so vorgegangen:

Die 1. Spalte der Matrix habe ich erhalten durch

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} t^{3} \to 3t^{2} = a_{0}t^{3}+a_{1}(t^{3}-t^{2})+a_{2}(t^{3}-2t^{2}+t)+a_{3}(t^{3}-3t^{2}+3t-1) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich Werte für alle Alphas berechnet, so dass die Rechnung $\begin{eqnarray*} 3t^{2} \end{eqnarray*}$ ergibt.

Ich hoffe, dass diese Vorgehensweise stimmt.

25.01.2011, 21:59

guest1989

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Meine zweite MAtrix lautet anders... und zwar so:

$\begin{eqnarray*} M_{B}^{B}\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mal, dass das so stimmt...

25.01.2011, 23:24

EnteWurzel

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Ah gut,das hab ich jetzt auch raus.
Habe bei der Ableitung des 3. Basisvektor -1 statt +1 am Ende geschrieben,dadurch ergab sich die falsche Rechnung.

26.01.2011, 19:10

EnteWurzel

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Hab nochmal nachgerechnet. Die 3. Spalte ist o,2,-1,-1 nicht +1.
Jetzt stimmts aber :-D

26.01.2011, 20:20

guest1989

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JA...ist mir eben auch aufgefallen... Maaan...also manchmal ist der Wurm ja drin Big Laugh

Big Laugh

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