2 Linksnebenklassen -> Normalteiler

22.01.2011, 21:57

raz0r

2 Linksnebenklassen -> Normalteiler

Hi,

ich hab hier eine kleine Aufgabe, die mir eigentlich sehr leicht vorkommt aber irgendwie komm ich nicht auf das Ergebnis ...

"In G gebe es bezüglich H genau zwei verschiedene Linksnebenklassen xH und yH. Man zeige, dass unter dieser Bedingung H Normalteiler in G ist."

$\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ Gruppe
$\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e \in H \end{eqnarray*}$ das neutrale Element der Multiplikation in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$

Dann gibt es die Linksnebenklasse $\begin{eqnarray*} eH = He = H \end{eqnarray*}$
Dass es genau zwei Linksnebenklassen gibt bedingt:
$\begin{eqnarray*} \exists x_0 \in G: x_0 H \cup H = G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{0}H \cap H = \emptyset \end{eqnarray*}$

zu Zeigen: $\begin{eqnarray*} \forall x \in G \forall h_1 \in H : x^{-1}h_{1}x \in H \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h_2 = x^{-1}h_{1}x \end{eqnarray*}$

Wir wollen zeigen $\begin{eqnarray*} h_{2} \in H \end{eqnarray*}$

1. Fall:
$\begin{eqnarray*} x \in H \Rightarrow x^{-1} \in H \Rightarrow x^{-1}h_{1}x \in H \Rightarrow h_{2} \in H \end{eqnarray*}$

2. Fall:
$\begin{eqnarray*} x \not\in H \Rightarrow x \in x_0H \Rightarrow x_0^{-1}x \in H \end{eqnarray*}$
Annahme: $\begin{eqnarray*} h_2 \not\in H \Rightarrow h_2 \in x_0H \Rightarrow x_0^{-1}h_2 \in H \end{eqnarray*}$

.
.
.

$\begin{eqnarray*} ... = x^{-1}h_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^{-1} \in H \Rightarrow x \in H \end{eqnarray*}$ Wiederspruch!

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow h_2 \in H \end{eqnarray*}$

den ...-Teil bekomm ich irgendwie nicht zusammen.

Könnte man das nicht eigentlich auch über die Menge der Links- und Rechtsnebenklassen lösen, weil $\begin{eqnarray*} eH = He = H \end{eqnarray*}$ ... daraus folgt $\begin{eqnarray*} xH = Hx \end{eqnarray*}$

Gruß raz0r

22.01.2011, 22:11

jester.

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Hallo,

wenn du weißt, dass die Anzahl der Linksnebenklassen gleich der Anzahl der Rechtsnebenklassen ist, dann ist die Aufgabe sehr einfach. Bemühe dazu einfach mal die Suchfunktion mit dem Stichwort Normalteiler Index 2.

Falls dir diese Tatsache noch nicht bekannt ist, kannst du dir noch zusätzlich überlegen, dass $\begin{eqnarray*} G/H \to H\setminus G , ~ gH \mapsto Hg^{-1} \end{eqnarray*}$ eine Bijektion zwischen den Links- und Rechtsnebenklassen ist.

22.01.2011, 22:40

raz0r

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also meinst du z.B.

weil gilt:
$\begin{eqnarray*} xH \cup yH = G , xH \cap yH = \emptyset \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} Hx \cup Hy = G , Hx \cap Hy = \emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = e \Rightarrow eH = He = H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow yH = Hy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow H \end{eqnarray*}$ Normalteiler in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow yH = Hy \end{eqnarray*}$ ist doch ausreichende Bedingung für einen Normalteiler oder?

22.01.2011, 22:55

jester.

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$\begin{eqnarray*} yH=Hy ~\forall y\in G \end{eqnarray*}$ heißt in der Tat, dass $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ normal in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist. Was du schreibst, kann ich so aber nicht ganz nachvollziehen. Was soll zum Beispiel diese Sache mit dem neutralen Element? $\begin{eqnarray*} eH=He=H \end{eqnarray*}$ ist trivial und lässt die Folgerung, dass $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ normal ist, nicht zu.
Ich meine: Sei $\begin{eqnarray*} g\in G-H \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann ist $\begin{eqnarray*} G=H \cup gH = H \cup Hg \end{eqnarray*}$ (da die Anzahl der Linksnebenklassen gleich der Anzahl der Rechtsnebenklassen ist). Dann folgt sofort, dass $\begin{eqnarray*} H\trianglelefteq G \end{eqnarray*}$ . Ist dir klar, warum?

Beachte bitte, dass es wichtig ist, anzugeben, woher beispielsweise dein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ kommen, so wie ich angegeben habe, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} G-H \end{eqnarray*}$ kommt.

22.01.2011, 23:12

raz0r

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Zitat:

Original von jester.
Was soll zum Beispiel diese Sache mit dem neutralen Element?

Damit will ich zeigen, dass eine der Rechtsnebenklassen schon "belegt" ist (ebend $\begin{eqnarray*} He \end{eqnarray*}$ ). Auch wenn es eine triviale Nebenklasse ist, sollen wir die immer mit angeben. Macht ja auch der Übersichtlichkeit halber Sinn Augenzwinkern

Ich müsste das dann also so verfassen:

$\begin{eqnarray*} x , y \in G \end{eqnarray*}$

wenn gilt: $\begin{eqnarray*} xH \cup yH = G , xH \cap yH = \emptyset \end{eqnarray*}$ , folgt: $\begin{eqnarray*} Hx \cup Hy = G , Hx \cap Hy = \emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = e \Rightarrow eH = He = H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall y \in G : yH = Hy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow H \trianglelefteq G \end{eqnarray*}$

Das müsste doch das selbe sein, was du da oben geschrieben hast. Nur halt in der Form, in der ich das abgeben kann Augenzwinkern

Gruß raz0r

EDIT: Macht diese Darstellung nicht sogar die komplette Fallunterscheidung der Aufgabe überflüssig?

22.01.2011, 23:28

jester.

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1) Ich würde $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ anstelle $\begin{eqnarray*} He \end{eqnarray*}$ vorziehen, auf die Dauer spart man sich einen Buchstaben. Augenzwinkern

2) Du schreibst: "Wenn gilt .... dann folgt ...", aber dieses "wenn" ist irgendwie fehl am Platz, denn $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ hat ja bereits nach Voraussetzung 2 Nebenklassen. Eine davon ist $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ selbst, die andere ist $\begin{eqnarray*} gH \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , das nicht in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ liegt (also $\begin{eqnarray*} H\neq gH \end{eqnarray*}$ ).
Gleiches gilt nun für die Rechtsnebenklassen, dort hat man ebenfalls $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ und dann noch $\begin{eqnarray*} Hg \end{eqnarray*}$ . Nun ist natürlich $\begin{eqnarray*} H=H \end{eqnarray*}$ (Linksnebenklasse = Rechtsnebenklasse), das lässt also nur noch die Folgerung $\begin{eqnarray*} gH=Hg \end{eqnarray*}$ zu, womit wir fertig sind.

Also streiche das "wenn" und das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und wähle das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} G-H \end{eqnarray*}$ . Diese Sache mit zwei Gruppenelementen, von denen du dann eines als Neutralelement wählst, würde ich dir als Korrektor mit dem Kommentar "unnötig" versehen.

22.01.2011, 23:48

raz0r

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$\begin{eqnarray*} y \in G \backslash H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H \cup yH = G , H \cap yH = \emptyset \Rightarrow H \cup Hy = G , H \cap Hy = \emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall y \in G \backslash H : yH = Hy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow H \trianglelefteq G \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von raz0r
Macht diese Darstellung nicht sogar die komplette Fallunterscheidung der Aufgabe überflüssig?

Diese Darstellung deckt dann wiederum nicht den 1. Fall (siehe erster Post) ab. Der muss also trotzdem noch mit aufgeführt werden oder?

23.01.2011, 10:15

jester.

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Nein, du brauchst keine Fallunterscheidung. Überlege dir, warum aus $\begin{eqnarray*} yH=Hy ~\forall ~ y \in G-H \end{eqnarray*}$ schon $\begin{eqnarray*} yH=Hy ~\forall ~ y\in G \end{eqnarray*}$ folgt.

Beachte noch folgendes: In der Gruppentheorie bzw. in der Algebra schreibt man gerne $\begin{eqnarray*} G-H \end{eqnarray*}$ für die Menge aller Gruppenelemente aus $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , die nicht in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ liegen, da die Notation $\begin{eqnarray*} G\setminus H \end{eqnarray*}$ oft für die Menge der Rechtsnebenklassen benutzt wird (siehe mein erster Beitrag in diesem Thema).

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