Divergenz einer Folge zeigen

22.01.2011, 23:53	_-Alex-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz einer Folge zeigen Hi, ich habe die Folge $\begin{eqnarray} (a_m)_{m \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_m := \frac {1}{m} \sum_{n=1}^m z^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ . Ich soll zeigen, dass die Folge divergiert für $\begin{eqnarray} \lvert z\rvert >1 \end{eqnarray}$ . Ich hab in einem Buch den Satz gefunden, dass eine Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_n \geq 0 \end{eqnarray}$ genau dann konvergiert, wenn die Reihe (d.h. die Folge der Partialsummen) beschränkt ist. Kann ich den Satz auf das Problem anwenden? Dass ich also sage: $\begin{eqnarray} \frac{1}{m} \sum_{n=1}^m z^n = \sum_{n=1}^m \frac {z^n}{m} \geq \frac {1}{m} \end{eqnarray}$ Ich glaub nur leider nicht, dass ich das so einfach bestimmen kann, weil dann könnte ich doch auch irgendwie mutwillig eine obere Grenze bestimmen, wodurch ja dann auf einmal die Beschränktheit da wäre... Könnt ihr mir da weiterhelfen? MfG
23.01.2011, 11:05	Irgendwer von daher	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht ob ihr das Quotientenkriterium schon durchgenommen habt, aber wenn du dies hier anwenden darfst, liegt die Lösung ja praktisch schon auf der Hand.
23.01.2011, 15:24	_-Alex-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dann könnte ich ja sagen: $\begin{eqnarray} \frac{a_{m+1}}{a_m} = \frac{m}{m+1} (1+ \frac{z^{m+1}}{\sum_{n=1}^m z^n} ) = \frac{m}{m+1} + \frac{mz^{m+1}}{(m+1)\sum_{n=1}^m z^n} \end{eqnarray}$ Da jetzt gilt: $\begin{eqnarray} \frac{mz^{m+1}}{(m+1)\sum_{n=1}^m z^n} = \frac{1}{m+1} \cdot \frac{mz^{m+1}}{\sum_{n=1}^m z^n} > \frac{1}{m+1} \end{eqnarray}$ Da: $\begin{eqnarray} \frac{mz^{m+1}}{\sum_{n=1}^m z^n} > 1 \end{eqnarray}$ Gilt: $\begin{eqnarray} \frac{m}{m+1} + \frac{mz^{m+1}}{(m+1)\sum_{n=1}^m z^n} > \frac {m}{m+1} + \frac{1}{m+1} = 1 \end{eqnarray}$ Kann man doch so sagen oder? Aber nochmal zu meinem ersten Versuch mit der Beschränktheit, weil ich den eben in einem Buch gefunden habe, kann ich das so sagen oder eher weniger, weil ich weiß wie gesagt nicht, wie ich diese Beschränktheit immer angeben kann/muss. lg

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