Darstellung einer Abbildung Basiswechsel

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Mr.Eisen Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellung einer Abbildung Basiswechsel
Hallo,

1 )

sei gegeben durch:

sind zwei Basen des




Man soll die Darstellung von bzgl. der beiden Basen angeben.

Ich habe zuerst die Bilder der Basisvektoren aus ermittelt:



Jetzt sollte man diese Bildvektoren als Linearkombination der Vektoren aus darstellen.



Z.b. hier...wenn man sich den zweiten und vierten Vektoren aus jeweils in der zweiten und dritten Spalte ansieht. Ich kann hierfür keine Linearkombination finden.

Bei den anderen Vektoren stoße ich auf ähnliche Fälle. Habe ich die Bildvektoren falsch berechnet oder übersehe ich etwas?



2)

Sei und sei der Vektorraum der Polynome mit . Sei , wobei die Ableitung von bezeichnet. Sei die Standardbasis des VR .
Zu gegebenem sei C^a_n mit für , eine weitere Basis des .

Man soll eine Matrix des Basiswechsels von nach bestimmen.
Und man soll für die zur linearen Abbildung gehörige Matrix bzgl. der Basen C^a_3 und C^b_2


Ich habe bis jetzt nur Basiswechselmatrizen für konkrete gegebene Basen gebgeben (dazu gibt es hier im Forum auch einen guten Artikel). Aber bei dieser Aufgabe weiß ich gar nicht, wie ich anfangen soll.

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? smile
Mr.Eisen Auf diesen Beitrag antworten »

Habe bei der ersten Aufgabe einen Fehler gefunden, die Bilder sehen so aus:



Und die Linearkombinationen so:













Die Darstellung von sieht dann so aus:




Hoffe, dass das stimmt. Dann bleibt nur noch die zweite Aufgabe.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zur zweiten Aufgabe:
Du hast hier doch ebenfalls konkrete Basen gegeben.
Beispiel: n=3



Wenn Du das Basiselement mit Hilfe der Basis darstellen willst, so ist das:


In der entsprechenden TrafoMatrix steht in der Spalte zu also:

Gruß,
Reksilat.
Mr.Eisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke für die Antwort.

Aber ich bin mir nicht sicher ob ich verstanden habe, was du hier gemacht hast:



Läuft das für dann so ab?



So dass in der Spalte zu steht:


Für war das etwas umfangreicher:







Für müsste sich ja ergeben.

Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht soweit richtig aus, aber hier:
Zitat:
Original von Mr.Eisen




Sollte am Ende stehen.

Damit sieht man auch ganz gut, wie es allgemein aussehen muss.
Beweisen muss man es trotzdem noch Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
Mr.Eisen Auf diesen Beitrag antworten »

Dann rechne ich das nochmal nach.

Sieht es allgemein ungefähr so aus?




Ich muss ja zwei Aufgaben lösen:

1)Man soll eine Matrix des Basiswechsels von nach bestimmen.

2)Und man soll für die zur linearen Abbildung gehörige Matrix bzgl. der Basen C^a_3 und C^b_2


zu 2)

Also sieht diese Matrix bzgl. der zwei Basen dann so aus?



Bzw. was muss ich jetzt noch tun?
 
 
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mr.Eisen
Dann rechne ich das nochmal nach.

Sieht es allgemein ungefähr so aus?

Hast Du das einfach geraten?
Ich hab's nicht nachgerechnet, aber Deine Vermutung ist wahrscheinlich falsch.
Schau Dir mal das Pascalsche Dreieck an. Augenzwinkern

Du kannst auch einfach mal mit dem Beweis anfangen und musst nicht alles hier rückfragen.
Zitat:
Zu 2)
Also sieht diese Matrix bzgl. der zwei Basen dann so aus?

Bzw. was muss ich jetzt noch tun?

Du sollst nicht raten! unglücklich
Das Vorgehen ist genauso wie bei 1).
- Basisvektor aus nehmen.
- Bild unter berechnen
- Dieses Bild mit den Basisvektoren aus darstellen
Mr.Eisen Auf diesen Beitrag antworten »

,

Also ist .




Um die Bilder der Elemente von zu berechnen, muss ich dann einfach die einzelnen Elemente differenzieren?
Wenn nicht, dann ist alles was jetzt noch kommt falsch. Augenzwinkern






Und dann:





Dann müssten wohl noch die anderen Elemente als Linearkombination angeschrieben werden: (hier komme ich nicht weiter)



Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Um die Bilder der Elemente von zu berechnen, muss ich dann einfach die einzelnen Elemente differenzieren?
Wenn nicht, dann ist alles was jetzt noch kommt falsch. Augenzwinkern

Versuch macht kluch. Aus eigenen Fehlern lernt man am meisten und sooo unglaublich viel hast Du hier ja auch nicht gerechnet. Augenzwinkern

Zitat:




korrekt.

Zitat:
Und dann:


Was zum Geier meinst Du damit? Diese Schreibweise ist mir völlig unverständlich. verwirrt
Es ist


Setze .
Dann sortierst Du beide Seiten nach den , d.h. auf jeder Seite steht
Dann vergleichst Du die Koeffizienten vor den miteinander und bekommst so (in Abhängigkeit von und ) raus.

Ebenso mit
msc77777 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reksilat
Setze .
Dann sortierst Du beide Seiten nach den , d.h. auf jeder Seite steht
Dann vergleichst Du die Koeffizienten vor den miteinander und bekommst so (in Abhängigkeit von und ) raus.


Ich bin auf diesen Thread gestossen und versuche auch die Aufg. zu lösen.
Ich komme hier allerdings auch nicht weiter. Nach deinem Vorschlag siehts nun so aus:







Wenn ich nun die Koeffizienten vergleiche, sehe ich immernoch drei variablen, welche mit zwei anderen dargestellt werden sollten. Aber wie das nu gehen soll...
Könntest du mir da auf die Sprünge helfen?
Mr.Eisen Auf diesen Beitrag antworten »

Da stehe ich momentan auch... :/
Blutiger Anfänger Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Reksilat schon sagte, sortieren nach den X, dann habt ihr auf der einen Seite abhängig von alpha, beta, gamma und könnt vergleichen (-2a +2x = ... + ...X + ...X² ). Nun könnt ihr auf beiden Seiten die jeweiligen Koeffizienten vergleichen und in Beziehung setzen, z.B. 0*X² = gamma * X², also gamma = 0, ihr könnt dann gamma einsetzen und bei X weitermachen um beta rauszubekommen und danach eben noch alpha usw.
Das Selbe dann eben auch bei 3(X-a)². Augenzwinkern
msc77777 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab ichs glaub kapiert!







Dann sieht die Darstellungsmatrix so aus:



Ist das richtig?
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