Erzeugte Untergruppe

23.01.2011, 13:21

Pustefix91

Erzeugte Untergruppe

Guten Tag,

habe bei folgender Aufgabe so meine Probleme:

Sei $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N : n\geq 3 \end{eqnarray*}$ Zeige dass $\begin{eqnarray*} <(1 3), (1 2 3) > = \left\{ \sigma \in Sn: \sigma(i) = i \forall i\geq 4\right\} \end{eqnarray*}$ in Sn gilt.

Nun was mich persönlich zunächste ein wenig verwirrt ist das "Komma" im Erzeugnis. Ist damit das Gleiche gemeint wie $\begin{eqnarray*} <(13)(123)> \end{eqnarray*}$ oder macht das einen Unterschied? Desweiteren ist mir nicht klar weshalb diese Gleichheit besteht. Es werden ja nur die ersten drei Elemente vertauscht. Aber es gibt wesentlich mehr Permutationen für die ersten drei Elemente. Oder sehe ich das völlig falsch? Bitte um Hilfe. verwirrt

23.01.2011, 13:53

Elvis

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Das Komma ist wichtig. Es gibt 6 Permutationen für die ersten 3 Elemente, und du sollst zeigen, dass diese durch die beiden erzeugt werden.

23.01.2011, 13:54

Pustefix91

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Was das Verständnis der Aufgabe betrifft so habe ich es nun verstanden. Allerdings weiß ich leider nicht wie ich die Gleichheit beweisen könnte. Hat da jemand einen Tipp für mich?

23.01.2011, 13:56

Elvis

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Was ist (123) ?

23.01.2011, 14:01

Pustefix91

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Zitat:

Original von Elvis
Das Komma ist wichtig. Es gibt 6 Permutationen für die ersten 3 Elemente, und du sollst zeigen, dass diese durch die beiden erzeugt werden.

Na ja $\begin{eqnarray*} (13)(13), (13)(123), (123)(13), (123)(123), (123) ,(13) \end{eqnarray*}$ müssten alle 6 Permutationen sein. Aber damit habe ich doch noch nicht die Gleichheit gezeigt, oder? $\begin{eqnarray*} (123) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.01.2011, 14:06

Elvis

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... "müssten sein" ist eine Vermutung, und leider eine falsche. Da musst du dir ein wenig mehr Mühe geben und rechnen.

23.01.2011, 14:14

Pustefix91

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Ich seh meinen Fehler ehrlich gesagt nicht verwirrt

$\begin{eqnarray*} (13)(13) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix},(13)(123) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} , (123)(13) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\\ \end{pmatrix},(123)(123) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix},(123) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} ,(13) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.01.2011, 14:42

Elvis

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Jetzt sehe ich es, und ich sehe ein, dass ich mich verrechnet und geirrt habe. Mea culpa, mea maxima culpa. Hammer

... "müssten sein" war eine richtige Vermutung. smile

23.01.2011, 14:44

Pustefix91

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Hm nun ja, reicht das denn nun schon als Beweis?

23.01.2011, 15:09

Elvis

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Ja. Das Erzeugnis macht alles, was man an Permutationen mit 1,2,3 machen kann. Ein Element aus dem Erzeugnis lässt i>=4 unverändert, liegt also in der rechten Menge. Eine Permutation, die alle i>=4 unverändert lässt, ändert nur 1,2,3 ,liegt also nach deiner (nun bewiesenen und beglaubigten) Vermutung im Erzeugnis. Gleichheit der Mengen ist bewiesen durch beiderseitige Mengeninclusion.

23.01.2011, 15:21

Pustefix91

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Ok vielen Dank. Aber wie sieht das beim formalen notieren aus?Kann ich einfach das obige von mir geschriebene notieren und dann schreiben: Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} <(13),(123)>\subseteq \left\{ \sigma\in Sn:\sigma(i) = i \forall i\geq 4\right\} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \left\{ \sigma\in Sn:\sigma(i) = i \forall i\geq 4\right\} \subseteq <(13),(123)> \end{eqnarray*}$ ?

25.01.2011, 18:47

Elvis

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