Zerfällungskörper, Körpererweiterung, Zwischenkörper

23.01.2011, 13:29	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerfällungskörper, Körpererweiterung, Zwischenkörper Meine Frage: a) Bestimmen Sie den Erweiterungsgrad des Zerfällungskörpers $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x^4-3 \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ . b)Geben Sie einen Zwischenkörper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} L\|\mathbb Q \end{eqnarray}$ vom Erweiterungsgrad $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ an, der keine Nullstelle von $\begin{eqnarray} x^4-3 \end{eqnarray}$ enthält. Ist dieser Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ Zerfällungskörper eines Polynoms aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q[x] \end{eqnarray}$ ? c) Bestimmen Sie die Minimalpolynome aller Nullstellen von $\begin{eqnarray} x^4-3 \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: zu a): Es gilt $\begin{eqnarray} x^4-3=(x^2-\sqrt{3})(x^2+\sqrt{3})=(x-\sqrt{\sqrt{3}})(x+\sqrt{\sqrt{3}})(x-i\sqrt{\sqrt{3}})(x+i\sqrt{\sqrt{3}}) \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} L=\mathbb Q(\sqrt{\sqrt{3}},i\sqrt{\sqrt{3}}) \end{eqnarray}$ . Das Polynom $\begin{eqnarray} x^4-3 \end{eqnarray}$ ist nach Eisenstein irreduzibel in $\begin{eqnarray} \mathbb Q[x] \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} [\mathbb Q(\sqrt{\sqrt{3}}:\mathbb Q]=4 \end{eqnarray}$ . Weiter gilt $\begin{eqnarray} (i\sqrt{\sqrt{3}})^2\in \mathbb Q(\sqrt{\sqrt{3}}) \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} i\sqrt{\sqrt{3}}\notin \mathbb Q(\sqrt{\sqrt{3}}) \end{eqnarray}$ , also gilt $\begin{eqnarray} [L:\mathbb Q(\sqrt{\sqrt{3}})]=2\Longrightarrow [L:\mathbb Q]=8 \end{eqnarray}$ . zu b): Da denke ich an den Zerfällungskörper eines irreduziblen Polynoms vierten Grades. Das Problem ist aber, dass $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Unterkörper von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ sein muss...
23.01.2011, 13:55	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerälungskörper, Körpererweiterung, Zwischenkörper Hi Tobiass, Also $\begin{eqnarray} L=\mathbb Q(\sqrt{\sqrt{3}},i\sqrt{\sqrt{3}}) \end{eqnarray}$ sieht nicht sehr schön aus. Schreibe lieber $\begin{eqnarray} L=\mathbb Q(\sqrt[4]{3},i) \end{eqnarray}$ dafür. Ansonsten stimmt das. Lies vielleicht auch mal hier ein wenig: Zerfällungskörper zu b): Versuche lieber einen Körper vom Grad 2 über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ zu konstruieren und den dann noch mal mit einer Erweiterung vom Grad 2 zu versehen. Gruß, Reksilat.
23.01.2011, 14:07	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Also es hat doch $\begin{eqnarray} \mathbb Q(i) \end{eqnarray}$ Grad 2 über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt{3},i) \end{eqnarray}$ hat darüber Grad 2. Also gilt $\begin{eqnarray} [\mathbb Q(\sqrt{3},i):\mathbb Q]=4 \end{eqnarray}$ .
23.01.2011, 14:11	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »

23.01.2011, 14:20	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist doch $\begin{eqnarray} K=\mathbb Q(\sqrt{3},i) \end{eqnarray}$ ein Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} x^2+3 \end{eqnarray}$ ?
23.01.2011, 14:25	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, denn das wäre zu groß. $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(i\sqrt 3) \end{eqnarray}$ reicht bei diesem Polynom als Zerfällungskörper aus.
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23.01.2011, 14:33	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} x^4-9=(x^2+3)(x^2-3)=(x-i\sqrt{3})(x+i\sqrt{3})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ .

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