Frage zur Mengenlehre

23.01.2011, 13:38

MarkO2

Frage zur Mengenlehre

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe drei Mengen: A, B, C, und M (M ist die alles umfassende Menge, A,B,C sind Teilmenge von M)

würdet ihr sagen, dass

$\begin{eqnarray*} A \cap B \cap C \end{eqnarray*}$ das gleiche ist wie:

$\begin{eqnarray*} (M-A) \cap B \cap C \end{eqnarray*}$

M - A soll die Komplementermänge darstellen.

Meine Ideen:

Vielen Dank!

Viele Grüße

23.01.2011, 13:42

Mystic

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RE: Frage zur Mengenlehre
Wenn du die Mengen B und C so wählst, dass ihr Durchschnitt leer ist, ist es dasselbe...

23.01.2011, 13:49

Ibn Batuta

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Gegenbeispiel zu deiner Aussage:

Sei $\begin{eqnarray*} M=\lbrace \varnothing, \, 11, \, 22, \, 33, \, 44, \, 55, \, 66, \, 77, \, 88, \, 99 \rbrace \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} A=\lbrace \varnothing, \, 11, \, 22\rbrace \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B=\lbrace \varnothing, \, 77, \, 88, \, 99\rbrace \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C=\lbrace \varnothing, \, 44, \, 55, \, 66, \, 77 \rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M-A = \lbrace \varnothing, \, \, 33, \, 44, \, 55, \, 66, \, 77, \, 88, \, 99 \rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (M-A) \bigcap B \bigcap C=\{ \varnothing, \,77\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \bigcap B \bigcap C={ \varnothing} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht dasselbe.

Ibn Batuta

Edit: Zu langsam...

23.01.2011, 14:22

MarkO2

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Danke für die Antwort!

Kann man das auch mit der Mächtigkeit berechnen?

Also z.B. Mächtigkeit von M = 10
Mächtigkeit von A = 3
Mächtigkeit von B = 4
Mächtigkeit von C = 5
Mächtigkeit Komplementärmenge (M-A) = 7 (Warum hast du leere Menge noch dazu geschrieben?)

Mächtigkeit B geschnitten C = 2

Mächtigkeit A geschnitten B geschnitten C = 1

Wie komme ich denn dann auf die Mächtigkeit der Menge

$\begin{eqnarray*} (M-A) \cap B \cap C \end{eqnarray*}$

Danke!

23.01.2011, 15:31

Mystic

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Zitat:

Original von MarkO2
Wie komme ich denn dann auf die Mächtigkeit der Menge

$\begin{eqnarray*} (M-A) \cap B \cap C \end{eqnarray*}$

Danke!

Mann, oh Mann, du hast es tatsächlich geschafft, den Schwierigkeitsgrad der eingangs gestellten Frage noch einmal zu unterbieten... geschockt

Ich würde dir sehr empfehlen mit sog. Venn-Diagrammen zu arbeiten, das ist zwar noch kein Beweis, aber unterstützt die Anschauung enorm und führt dann oft auch auf den rechnerisch richtigen Weg, der hier so aussieht:

$\begin{eqnarray*} |B \cap C| =| (A \cup (M-A)) \cap B \cap C| = |A \cap B \cap C| + |(M-A) \cap B \cap C|\Rightarrow \ldots \end{eqnarray*}$

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