Tangentenverfahren

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denjo88 Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentenverfahren
Hallo,
ich muss folgende Aufgabe nach dem Newtonschen Tangentenverfahren lösen:
sin(x)=x
Ich bin jetzt so vorgegangen, dass ich umgeformt habe nach 0=sin(x) - x
und dann eine wertetabelle erstellt habe. Mit x= pie, pie/2 usw. und x= 1, 2 usw. sind aber alle y- Werte negativ also keine Nullstelle für einen geeigneten Startwert. Wie kann ich diese Aufgabe lösen?
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst ja auch keine Nullstelle raten (- das wäre übrigens ziemlich einfach -), sondern du sollst den Schnittpunkt der Tangente der Funktion f(x) = sin(x) - x mit der x-Achse berechnen.

Na, und dann mach das doch mal für einen Wert ... z.B. x = pi/2 ...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentenverfahren


Macht Newton da Sinn? Die Lösung x=0 springt einen ja direkt an. Was sollst du als Startwert wählen?

Für Startwert x=1. Die Delta Spalte ignorieren.

code:
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Startwert eingeben: x0= 1
 
  x_n+1            x_n           Delta
============================================
  0.655145        1.000000       0.344855 
  0.433590        0.655145       0.338177 
  0.288148        0.433590       0.335436 
  0.191832        0.288148       0.334259 
  0.127810        0.191832       0.333743 
  0.085183        0.127810       0.333515 
  0.056782        0.085183       0.333414 
  0.037853        0.056782       0.333369 
  0.025234        0.037853       0.333349 
  0.016823        0.025234       0.333340 
  0.011215        0.016823       0.333336 
  0.007477        0.011215       0.333335 
  0.004984        0.007477       0.333334 
  0.003323        0.004984       0.333334 
  0.002215        0.003323       0.333333 
  0.001477        0.002215       0.333333 
  0.000985        0.001477       0.333333 
  0.000656        0.000985       0.333333 
  0.000438        0.000656       0.333333 
  0.000292        0.000438       0.333333 
  0.000194        0.000292       0.333333 
  0.000130        0.000194       0.333333 
  0.000086        0.000130       0.333333 
  0.000058        0.000086       0.333333 
  0.000038        0.000058       0.333333 
  0.000026        0.000038       0.333333 
  0.000017        0.000026       0.333333 
  0.000011        0.000017       0.333333 
  0.000008        0.000011       0.333332 
  0.000005        0.000008       0.333333 
  0.000003        0.000005       0.333337 
  0.000002        0.000003       0.333340 
  0.000001        0.000002       0.333314 
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentenverfahren
Zitat:
Original von tigerbine

Macht Newton da Sinn? Die Lösung x=0 springt einen ja direkt an.


Na ja, das ist nicht die Frage! Denn es ist ja gerade verlangt, dass man die Aufgabe mit dem Newton'schen Verfahren lösen soll.

Und wenn man schon eine Funktion plottet, dann würde ich die Funktion f(x) = sin(x) - x (oder das Negative davon) plotten. Big Laugh
denjo88 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnellen antworten.

Die Aufgabe lautet ganz offiziell:
Bestimmen sie nach dem Newton`schen Verfahren für 0 < x < 2pie

sin(x)=x

oder die 2. Aufgabe tan(x)=x

Ich kann quadratische Funktionen oder auch y=sin(x)
mit dem Tangentenverfahren berechnen aber bei diesen beiden Aufgaben komme ich auf kein Ergebnis.

Bei der Aufgabe tan(x)=x liegt laut wertetabelle eine Nullstelle zwischen 1 und 1,5 wenn ich aber mit x=1,5 oder auch 1,3 als Startwert beginne dann bin nach 3 iterationsschritten schon bei x=0,9... was ja nicht sein kann.

Deswegen wollte ich wissen ob es da vielleicht einen Trick gibt oder wo mein fehler liegt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu können wir keine Aussage machen, da du deine Newtoniteration nicht zeigst. Augenzwinkern
 
 
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Also, nehmen wir doch mal die Sache mit x = sin(x)

f(x) = sin(x) - x

f'(x) = cos(x) - 1

Wir wählen als Anfangsiteration z.B. x0 = pi/2

Dann ist m = f'(pi) = cos(pi/2) - 1= ...

Außerdem ist y0 = f(pi/2) = sin(pi/2) - pi/2 = ...

Jetzt haben wir einen Punkt (x0 | y0) und die Tangenten-Steigung m.

Daraus ermitteln wir eine Geradengleichung.

Und diese Gerade schneiden wir mit der x-Achse und erhalten x1.

x1 verwenden wir dann für die nächste Iteration und erhalten x2 ...

usw. usw. ...

Na, war das so schwer ? Big Laugh
denjo88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe man kann das lesen. wenn ichs einscanne ist die datei zu groß.

EDIT (mY+): Unlesbares Bild wurde entfernt.
denjo88 Auf diesen Beitrag antworten »

ok man kann nichts erkennen. sorry.
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Warum willst du denn bei so einer einfachen Rechnung überhaupt etwas einscannen.

Rechne doch mal die erste Iteration aus - da musst du doch nur die Punkt-Steigungsform der Geradengleichung verwenden und diese gleich Null setzen. Und dann sagst du mir, wie die Geradengleichung lautet und was da bei dir als Nullstelle heraus kommt ... Und dann sag ich dir, ob's richtig ist oder nicht. Big Laugh
denjo88 Auf diesen Beitrag antworten »

y=-x+0,2737
X1=0,2737
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
y=-x+0,2737


Aua!

f(x) = sin(x) - x

f'(x) = cos(x) - 1

x0 = pi/2

f(pi/2) = sin(pi/2) - pi/2 = 1 - pi/2

f'(pi/2) = cos(pi/2) - 1 = -1

-1 = (y - (1 - pi/2)) / (x - pi/2)

-x + pi/2 = y - 1 + pi/2

y = -x + 1

Soviel zu deiner Gradengleichung ... Big Laugh

Wie lautet nun die Nullstelle?

Und wie lautet dann die nächste Iteration?
denjo88 Auf diesen Beitrag antworten »

Nullstelle = 1 ?
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut! Das hat ja geklappt.

Wir haben also

x0 = pi/2
x1 = 1

Damit haben wir uns schon näher an die gesuchte Nullstelle herangepirscht.

Und jetzt berechnest du die nächste Iteration x2 nach dem gleichen Schema, indem du die Gleichung der Tagenten für x1 = 1 aufstellst und dann wieder den Schnittpunkt dieser Tangenten mit der x-Achse berechnest ...
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