Polarkoordinaten und Nabla-operator

23.01.2011, 13:51

Gipsyjack

Polarkoordinaten und Nabla-operator

Hallo, ich habe folgendes Problem:

Ich habe die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x,y)= \frac {x²-y²}{x²+y²} \end{eqnarray*}$ gegeben und soll von dieser folgendes berechnen:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)= (d²_x+d²_y)f(x,y) \end{eqnarray*}$

das müsste doch einfach die zweiten Ableitungen nach x und y sein, also:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y) = ( \frac{4y²(y²-3x²)}{(x²+y²)³}-\frac{4x²(x²-3y²}{(x²+y²)³} f(x,y) \end{eqnarray*}$

desweiteren soll ich die Funktion un in Polarkoordinaten betrachten, mit:

$\begin{eqnarray*} f(r,\phi)=f(x(r,\phi),y(r,\phi)) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x=r+cos(\phi) ; y=(r*sin(\phi) \end{eqnarray*}$

zusammen mit dem LaPlace-Operator:

$\begin{eqnarray*} (d²_r,\frac{1}{r}d_r,\frac{1}{r²}d²_\phi)) \end{eqnarray*}$

jetzt soll ich $\begin{eqnarray*} f(r,\phi) \end{eqnarray*}$ berechne und die äquovalenz zu dem ersten zeigen, indem ich wieder aus den Polarkoordinaten zurückrechne.

Hier hab ich jetzt absolut keine Ahnung wie ich das ansetzen soll muss ich machen um die Funktion in Polarkoordinaten umzurechnen?? Das Zurücktransformieren sollte gehn, aber der Anfang halt, wie ich $\begin{eqnarray*} f(r,\phi) \end{eqnarray*}$ aufstelle und berechne...

MFG

23.01.2011, 13:58

Gipsyjack

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War das umrechnen in Polarkoordinaten nicht einfach für x und y die gegeben Bedingung einsetzen??
Also:

$\begin{eqnarray*} f(x,\phi)=\frac{r²cos²\phi - r²sin²\phi}{r²cos²\phi+r²sin²\phi} \end{eqnarray*}$

das könnte man dann doch vereinfachen wenn man das $\begin{eqnarray*} r² \end{eqnarray*}$ rauskürzt zu:

$\begin{eqnarray*} f(r,\phi)=cos²\phi-sin²\phi \end{eqnarray*}$ ; was mich aber auch nicht sonderlich weiter bringt...

23.01.2011, 13:58

Felix

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x=r+cos(\phi) ; y=(r*sin(\phi) \end{eqnarray*}$

Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} x=r*cos(\phi) ; y=r*sin(\phi) \end{eqnarray*}$ .

Wo liegt das Problem $\begin{eqnarray*} x(r, \Phi) = r \cdot \cos(\Phi) \end{eqnarray*}$ analog für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

Edit:

Wenn du das erste Argument der ersten Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ änderst stimmt das so Augenzwinkern

23.01.2011, 14:10

Gipsyjack

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Danke, sry für den Tippfehler smile

Aber wenn ich das so mache kürzt sich r raus, was heißt das? bzw wlche bedeutung hat das ich kann doch keinen Körper "zeichnen" der keinen Radius hat??

Und auch, wenn ich jetzt den LaPlace-operator anwenden soll, dann wäre meine Ableitung nach r doch einfach 0??

damit würde der Laplace-Operator zu:

$\begin{eqnarray*} (0+ \frac{-4*sin(\phi)*cos(\phi)}{r} + \frac{-4*cos(2\phi)}{r²} ) \end{eqnarray*}$

23.01.2011, 14:56

Gipsyjack

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nochmal:
sry der 2 teil in der LaPlace ist auch 0 da ja dort nach $\begin{eqnarray*} d_r \end{eqnarray*}$ abgeleitet wird.

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