Höhe eines Trapezes

23.01.2011, 14:28

bananaboat

Höhe eines Trapezes

Ich bearbeite gerade eine Aufgabe zum Thema Analytische Geometrie(http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/...0mit%20Dach.pdf) und komme in Aufgabenteil d) nicht mehr weiter.
Die Aufgabe lautet: "Ermitteln Sie das Flächenmaß der Dachfläche S2S3D3D2." (Siehe Zeichnung in der Lösungsskizze(Seite 2))

Die Fläche stellt ja ein Trapez dar, bei dem für die Fläche gilt: $\begin{eqnarray*} A = \frac{a+c}{2} \cdot h \end{eqnarray*}$ a und c sind ja ganz einfach zu berechnen, nämlich der Betrag der Strecken S2S3 und D2D3. Nun kam ich aber nicht mehr weiter bei der Berechnung von h und habe mir die Lösungsskizze angeschaut. Der Ansatz lautet: "Zur Bestimmung der Höhe kann die Gerade g bestimmt werden, die in E2 verläuft, durch D2 geht und orthogonal zu S2S3 ist." Das verstehe ich auch noch, aber dann haben sie folgenden Ansatz: "Mit Hilfe des Ansatzes g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} a \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und der Koordinatenform von E2
erhält man für a den Wert –2." Dem kann ich nicht mehr so ganz folgen ...
Kann mir jemand helfen?

Vielen Dank!

23.01.2011, 15:08

Leopold

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Diese Lösung ist auch umständlich. Am besten nimmst du die Ebene (!), die durch $\begin{eqnarray*} D_2 \end{eqnarray*}$ geht und senkrecht auf $\begin{eqnarray*} S_2 S_3 \end{eqnarray*}$ steht, und schneidest sie mit $\begin{eqnarray*} S_2 S_3 \end{eqnarray*}$ .

Oder noch einfacher. Du schiebst die Dachfläche um 10 Einheiten (dritte Koordinate der S-Punkte) nach unten. Dann bekommst du die Trapezhöhe sofort mit Pythagoras. (Das Verschieben nach unten ist nicht erforderlich, hilft aber vielleicht bei der Vorstellung.)

23.01.2011, 16:59

bananaboat

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Satz des Pythagoras hatte ich auch erst gedacht, aber mir fehlt ja die eine Kathete ... verwirrt

23.01.2011, 16:59

mYthos

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Um die Rechnung des Aufgabenstellers auch noch nachzuvollziehen:

Man berechnet den Normalvektor von E mittels des Kreuzproduktes der beiden Richtungsvektoren von E: (0; 1; 0) und S2D2 = (-4; 3; 2)
--> n = (1; 0; 2). Dessen skalares Produkt mit (a; 0; 1) muss Null sein, woraus sofort a = -2 folgt.

mY+

23.01.2011, 17:18

Leopold

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Zitat:

Original von bananaboat
Satz des Pythagoras hatte ich auch erst gedacht, aber mir fehlt ja die eine Kathete ... verwirrt

Fälle von $\begin{eqnarray*} D_2 \end{eqnarray*}$ ein Lot auf die Ebene $\begin{eqnarray*} S_1 S_ 2S_3 S_4 \end{eqnarray*}$ . Die Strecke von $\begin{eqnarray*} D_2 \end{eqnarray*}$ zum Lotfußpunkt ist die eine Kathete, dann im rechten Winkel auf die Strecke $\begin{eqnarray*} S_2 S_3 \end{eqnarray*}$ zu. Das ist die andere Kathete. Die Kathetenlängen können unmittelbar den Koordinaten der Punkte entnommen werden.

23.01.2011, 18:06

bananaboat

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Aber wieso denn auf $\begin{eqnarray*} S_1 S_ 2S_3 S_4 \end{eqnarray*}$ ? Vielleicht ist mein Ansatz ja falsch, aber ich dachte man betrachtet das Dreieck $\begin{eqnarray*} S_2 D_ 2 \end{eqnarray*}$ und dem Lotfußpunkt von D2 auf S2. Dann könnte ich rechnen $\begin{eqnarray*} a^{2}=c^{2}-b^{2} \end{eqnarray*}$ , die Hypothenuse (c) wäre die Strecke S2D2, und die Kathete b die Strecke von D2 zum Lotfußpunkt, nur gerade diesen weiß ich nicht ... verwirrt

24.01.2011, 09:57

bananaboat

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Zitat:

Original von mYthos

--> n = (1; 0 2). Dessen skalares Produkt mit (a; 0; 1) muss Null sein, woraus sofort a = -2 folgt.

Wie kommt man denn auf den Vektor (a; 0; 1)? verwirrt

24.01.2011, 18:58

mYthos

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Diesen Vektor hast du doch in der Angabe stehen.

Die Strecke S2S3 ist parallel zur x2-Achse und beinhaltet deswegen den Richtungsvektor (0; 1; 0). Jeder Vektor (a; 0; 1) ist nun senkrecht zu dieser Strecke, da das skalare Produkt der beiden Vektoren Null ist.
Nun suchen wir jenes a, für welches dieser Vektor in der Ebene liegt (d.h. ein Richtungsvektor derselben ist), denn dann haben wir eine Gerade in E durch D2 normal zu S2S3.

mY+

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