Taylorpolynom für sin 2x

23.01.2011, 17:40

w³

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Taylorpolynom für sin 2x

Hallo!

Kann mir jemand sagen, ob mein Rechenweg stimmt und ob die Ableitungen vom Sinus richtig sind (habe hier mal mehr abgeleitet, als für diese Aufgabe notwendig)?

Die Aufgabe heißt: Geben Sie ein Polynom 1. Ordnung für die Funktion f(x) = sin 2x in der Umgebung von x=0 an ?

Für x habe ich als Startwert $\begin{eqnarray*} x=0.3 \end{eqnarray*}$ angenommen.

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> P_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} * (x-x_0)^k\\<br /> <br /> f(x) = sin(2x)<br /> f'(x) = cos(2x) * 2<br /> f''(x) = 2 * 2 * -sin(2x)<br /> f'''(x) = 2 * 2 * 2 * -cos(2x)<br /> f''''(x) = 2 * 2 * 2 * 2* sin(2x)<br /> <br /> P_n(x) = \frac{f(0.3)}{0!} * (x-0.3)^0 + \frac{f'(0.3)}{1!}*(x-0.3)^1<br /> <br /> = 0.01 + 0.99 * (x-0.3) = 0<br /> x = 0.28 \end{eqnarray*}$

Also ist das gesuchte Polynom (x-0.28). Korrekt?

23.01.2011, 18:32

lgrizu

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RE: Taylorpolynom für sin 2x
Okay, Taylor kann man nehmen, aber sollte dein Entwicklungspunkt nicht $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ sein und nicht $\begin{eqnarray*} x_0=0.3 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> P_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}*(x_0)}{k!} * (x-x_0)^k\\ \end{eqnarray*}$

Und was bitte soll dort $\begin{eqnarray*} f^k * x_0 \end{eqnarray*}$ bedeuten?

...Meinst du nicht viel mehr $\begin{eqnarray*} f^k(x_0) \end{eqnarray*}$ ...?

23.01.2011, 19:03

w³

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RE: Taylorpolynom für sin 2x

Zitat:

Original von lgrizu
Okay, Taylor kann man nehmen, aber sollte dein Entwicklungspunkt nicht $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ sein und nicht $\begin{eqnarray*} x_0=0.3 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} <br /> P_n(x) = 0 = \frac{f(0)}{0!} * (x-0)^0 + \frac{f'(0)}{1!}*(x-0)^1<br /> = 0 + 2 * x = 2x<br /> \end{eqnarray*}$

Somit lautet also die Ersatzfunktion für sin 2x in Bereich x=0: $\begin{eqnarray*} f(x)=2x \end{eqnarray*}$ .

Ist das richtig?

Zitat:

Original von lgrizu
$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> P_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}*(x_0)}{k!} * (x-x_0)^k\\ \end{eqnarray*}$

Und was bitte soll dort $\begin{eqnarray*} f^k * x_0 \end{eqnarray*}$ bedeuten?

...Meinst du nicht viel mehr $\begin{eqnarray*} f^k(x_0) \end{eqnarray*}$ ...?

Klar

Augenzwinkern

danke.

23.01.2011, 19:09

lgrizu

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RE: Taylorpolynom für sin 2x
Ganz vergessen zu schreiben, deine Ableitungen sind falsch, du hast die Kettenregel nicht angewendet.

23.01.2011, 20:06

w³

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RE: Taylorpolynom für sin 2x

Zitat:

Original von lgrizu
Ganz vergessen zu schreiben, deine Ableitungen sind falsch, du hast die Kettenregel nicht angewendet.

ok, ich hab die Ableitungen und die Rechnung nochmal verbessert und hoffe dass es jetzt richtiger ist als vorher - ist es das?

23.01.2011, 20:08

lgrizu

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RE: Taylorpolynom für sin 2x
Warum sind die Funktionen jetzt keine Funktionen von x mehr sondern von 2x? verwirrt

verwirrt

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23.01.2011, 20:43

w³

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RE: Taylorpolynom für sin 2x

Zitat:

Original von lgrizu
Warum sind die Funktionen jetzt keine Funktionen von x mehr sondern von 2x? verwirrt

verwirrt

oh man, mir raucht die Birne, deswegen geschockt

geschockt

habs jetzt rausgelöscht.

23.01.2011, 20:47

lgrizu

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RE: Taylorpolynom für sin 2x
Das ist ein saublöder Stil, in den alten Beiträgen herumzueditieren und mir zuzumuten, alles noch mal zu lesen, wenn ich dich auf einen Fehler aufmerksam mache.

Ich werde schon aus Protest nicht alle Posts durchlesen und schauen, was nicht stimmt, ebenso kann keiner der Auseinandersetzung folgen.

Also, wie lautet die Lösung des Problems nun?

23.01.2011, 21:26

w³

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RE: Taylorpolynom für sin 2x

Zitat:

Original von lgrizu
Das ist ein saublöder Stil, in den alten Beiträgen herumzueditieren und mir zuzumuten, alles noch mal zu lesen, wenn ich dich auf einen Fehler aufmerksam mache.
Also, wie lautet die Lösung des Problems nun?

Ok, das ist ein Argument, ich mache es anders.

Hier die neuen Ableitungen mittels Kettenregel und nachfolgend die neue Ersatzfunktion für die Umgebung von x=0.
$\begin{eqnarray*} <br /> f(x) = sin(2x)<br /> f'(x) = cos(2x) * 2<br /> f''(x) = 2 * 2 * -sin(2x)<br /> f'''(x) = 2 * 2 * 2 * -cos(2x)<br /> f''''(x) = 2 * 2 * 2 * 2* sin(2x)<br /> <br /> P_n(x) = 0 = \frac{f(0)}{0!} * (x-0)^0 + \frac{f'(0)}{1!}*(x-0)^1<br /> = 0 + 2 * x = 2x<br /> \end{eqnarray*}$

Stimmt es jetzt?

Danke für deine Hilfe.

23.01.2011, 21:31

lgrizu

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RE: Taylorpolynom für sin 2x
Die Ableitungen stimmen, die Taylorentwicklung um $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ auch, aber was soll das bedeuten:

Zitat:

Original von w³

$\begin{eqnarray*} P_n(x) = 0 = <br /> \end{eqnarray*}$

??

23.01.2011, 21:52

w³

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RE: Taylorpolynom für sin 2x

Zitat:

Original von lgrizu
Die Ableitungen stimmen, die Taylorentwicklung um $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ auch, aber was soll das bedeuten:

Zitat:

Original von w³

$\begin{eqnarray*} P_n(x) = 0 = <br /> \end{eqnarray*}$

??

Entschuldigung, das war ein Überbleibsel aus einer Nullstellenberechnung, also gehört hier nicht hin.

Um das Ergebnis nochmal in eigene Worte zu fassen: $\begin{eqnarray*} g(x)=2x \end{eqnarray*}$ liefert in der Umgebung von x=0 eine Annäherung an die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(2x) \end{eqnarray*}$ .

23.01.2011, 21:54

lgrizu

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RE: Taylorpolynom für sin 2x
Man kann sogar so weit gehen und sagen, g(x)=2x ist die Tangente von f(x)=sin(x) in x=0.

23.01.2011, 21:55

w³

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RE: Taylorpolynom für sin 2x

Zitat:

Original von lgrizu
Man kann sogar so weit gehen und sagen, g(x)=2x ist die Tangente von f(x)=sin(x) in x=0.

Ui du warst verdammt schnell.
Aber meinst du eine Tangente von f(x)=sin(2x)?

23.01.2011, 21:56

lgrizu

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RE: Taylorpolynom für sin 2x

Zitat:

Original von w³

Aber meinst du eine Tangente von f(x)=sin(2x)?

Hammer

Natürlich, sorry....

23.01.2011, 21:57

w³

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RE: Taylorpolynom für sin 2x

Zitat:

Original von lgrizu

Zitat:

Original von w³

Aber meinst du eine Tangente von f(x)=sin(2x)?

Hammer

Natürlich, sorry....

ok geil, ich habs so ganz gut kappiert.

Besten Dank für deine Zeit/Unterstützung!

Wie könnte man eigentlich die Umgebung vergrößern, sagen wir auf den Bereich von [-1; 1].
Könnte man dazu noch das Taylorpolynom für -1 und 1 entwickeln und dann alle drei Funktionen addieren?

23.01.2011, 22:02

lgrizu

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RE: Taylorpolynom für sin 2x
In größeren Bereichen sollte man das in eine Potenzreihe entwickeln mit entsprechendem Konvergenzradius.

23.01.2011, 22:14

w³

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RE: Taylorpolynom für sin 2x

Zitat:

Original von lgrizu
In größeren Bereichen sollte man das in eine Potenzreihe entwickeln mit entsprechendem Konvergenzradius.

Grob gefragt: so?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=-1}^{1}\frac{(-1)^k \cdot x^{2 \cdot k+1}}{(2 \cdot k +1)!} \end{eqnarray*}$

23.01.2011, 22:25

lgrizu

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RE: Taylorpolynom für sin 2x
Nein, so nicht.

Nimm zum Beispiel die Taylorreihe, die konvergiert im Entwicklungspunkt und in einem Radius um den Entwicklungspunkt, ist dieser Konvergenzradius r=1 und der Entwicklungspunkt x_0=0 so konvergiert sie im Intervall (-1,1).

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