Integration über Untermannigfaltigkeiten

23.01.2011, 18:50

qhalinaq

Integration über Untermannigfaltigkeiten

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Ich hänge bei der folgenden Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} M:=S_{r}^{2}= \left\{ \left(x,y,z\right)\in \mathbb R ^{3} | x^{2}+ y^{2}+ z^{2}= r^{2} \right\} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f\left(x,y,z\right):= x^{2} y^{2} \end{eqnarray*}$
Man soll $\begin{eqnarray*} \int_M \! f \, d\lambda _{M} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Meine Ideen:

Ich habe $\begin{eqnarray*} u\left(z\right)= \sqrt{r^{2}- z^{2}} \end{eqnarray*}$ gesetzt, sodass $\begin{eqnarray*} M= \left\{ \left(x,y,z\right)| x^{2} + y^{2} = u\left(z\right) ^{2} \right\} \end{eqnarray*}$ .
Außerdem parametrisiere ich den Körper:
$\begin{eqnarray*} F\left(z,\gamma \right)= \left(u\left(z\right)cos\gamma , u\left(z\right)sin\gamma , z \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow F'\left(z,\gamma \right)= \begin{pmatrix} u'\left(z\right)cos \gamma & -u\left(z\right)sin\gamma \\ u'\left(z\right)sin\gamma & u\left(z\right)cos\gamma \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Die Normen der Spalten sind $\begin{eqnarray*} \sqrt{r'\left(z\right) ^{2}+ 1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r\left(z\right) \end{eqnarray*}$ .
Dann müsste nach unserer Vorlesung $\begin{eqnarray*} \int_M \! f(x) \, d\lambda_{M}= \int_I\! \int_a^b \! f\left(F\left(z,\gamma \right) \right)\sqrt{det\begin{pmatrix} 1+ u'\left(z\right)^{2} & 0 \\ 0 & u\left(z\right) ^{2} \end{pmatrix} } \, d\gamma \, dz = \int_I \! f\left(F\left(z,\gamma \right) \right)|z|\sqrt{r^{2}- z^{2} } \, dx = \int_I \! \int_a^b \! r\left(z\right) ^{4}cos^{2}\gamma sin^{2}\gamma |z|\sqrt{r^{2}- z^{2} } \, d\gamma \, dz \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} I= \left(-r,r\right), a= -\pi , b= \pi \end{eqnarray*}$ ) sein.
Doch wenn ich das integriere kommt bei mir null raus.
Oder stimmt das vielleicht sogar, weil f ja in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abbildet und das bzgl $\begin{eqnarray*} \lambda _{M} \end{eqnarray*}$ null ist?

Außerdem habe ich nicht so ganz verstanden, was das Ganze mit Mannigfaltigkeiten zu tun hat.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen

23.01.2011, 22:12

system-agent

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RE: Integration über Untermannigfaltigkeiten

Zitat:

Original von qhalinaq
Außerdem habe ich nicht so ganz verstanden, was das Ganze mit Mannigfaltigkeiten zu tun hat.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen

Na $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist eine Mannigfaltigkeit und schränkt man die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein, dann kriegt man eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f: M\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Deine Parametrisierung scheint OK zu sein.

In deinem Integral hast du die Determinante falsch ausgerechnet.
$\begin{eqnarray*} \det\begin{pmatrix} 1+ u'\left(z\right)^{2} & 0 \\ 0 & u\left(z\right) ^{2} \end{pmatrix}=(1+u'(z)^2)u(z)^2=\left(1+\frac{z^2}{r^2-z^2}\right)(r^2-z^2)=r^2 \end{eqnarray*}$ .

Ich denke mal, dass du ebenfalls $\begin{eqnarray*} (f\circ F)(z,\gamma) \end{eqnarray*}$ nochmal überprüfen musst.

Schlussendlich erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{4\pi}{15}r^6 \end{eqnarray*}$ als Resultat.
Noch zur Schreibweise:
Schreibe anstatt $\begin{eqnarray*} \int_M \! f(x) \, d\lambda_{M} \end{eqnarray*}$ lieber $\begin{eqnarray*} \int\limits_Mf\,\dd\lambda_M \end{eqnarray*}$ .

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