Grenzwert/Konvergenz rekursive Folge

25.11.2006, 12:36

Dr4gonclaw

Grenzwert/Konvergenz rekursive Folge

Aufgabe: für $\begin{eqnarray*} \alpha >0 \end{eqnarray*}$ betrachte man die rekursiv gegebene Folge:

$\begin{eqnarray*} a_1 := \alpha, a_{n+1} = \alpha + \frac{1}{a_n} \end{eqnarray*}$

Man zeige die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und bestimme den Grenzwert x.

Tipps: 1. Was ist der potentielle Grenzwert x? Man zeige x>1

Lsg: $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2}* \sqrt{4 + \alpha^2} + \alpha \end{eqnarray*}$
Ist auch klar dass der größer 1 sein muss.

2. Man zeige $\begin{eqnarray*} a_n a_{n-1} \geq 1 \end{eqnarray*}$

Hab ich auch gezeigt. Keine Ahnung wofür man das braucht !?

3. Man leite eine Abschätung für $\begin{eqnarray*} \mid a_n - x \mid durch \mid a_{n-1} - x \mid \end{eqnarray*}$ her.

Habe ich nicht geschafft.

Was bringen einem die Tipps 2 und 3? Wie begründe ich damit dass die Folge konvergent ist? Wenn ich zeigen kann, dass die Folge konvergent ist, kann ich damit den potentiellen Grenzwert als richtigen GW annehmen?
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.

25.11.2006, 13:52

bonn_tobias

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Grenzwert/Konvergenz rekursive Folge
noch ein bonner, ich sitze auch grade an dem teil.

viel beizusteuern hab ich nicht, aber zu deinem potenziellen grenzwert fällt mir was auf:

ich hatte in derive den fall alpha = 2 betrachtet, nach 1000 schritten war das ergebnis 2.414213562, was 1+sqrt(2) zu sein scheint. Nach deinem potenziellen grenzwert müsste jedoch $\begin{eqnarray*} 1/2*\sqrt[2]{4+2^2}+2 \end{eqnarray*}$ rauskommen, oder nicht? das ist aber irgendwas mit 3.414..., d.h. 2+sqrt(alpha). für meine restlichen ausgerechneten werte liegt dein x ebenfalls daneben. wie bist du denn drauf gekommen? vielleicht bin ich ja nur zu blöd um die rekursion richtig zu berechnen...

vermutung: vielleicht meinst du $\begin{eqnarray*} 1/2*(\sqrt[2]{4+\alpha^2}+\alpha) \end{eqnarray*}$ ? dann würde es sich mit der geschlossenen formel für alpha=1 = goldener schnitt decken, und irgendwie scheints ja damit zu tun zu haben.

gruß tobias

25.11.2006, 13:59

bonn_tobias

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okay, die herleitung des möglichen grenzwerts aus x = alpha + 1/x hab ich jetzt, da kommt meine vermutung raus, ich vermute aber sowieso dass du dich da nur vertippt hast.

25.11.2006, 16:33

Dr4gonclaw

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RE: Grenzwert/Konvergenz rekursive Folge

Zitat:

Original von bonn_tobias
vermutung: vielleicht meinst du $\begin{eqnarray*} 1/2*(\sqrt[2]{4+\alpha^2}+\alpha) \end{eqnarray*}$ ? dann würde es sich mit der geschlossenen formel für alpha=1 = goldener schnitt decken, und irgendwie scheints ja damit zu tun zu haben.

Jo stimmt habe die Klammern vergessen Augenzwinkern

Problem besteht aber immer noch wie es weiter geht...

25.11.2006, 16:38

Dr4gonclaw

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Meine Vermutung ist, dass wenn man Tipp 3 beweisen kann: Irgentwie sagen kann dass der Abstand von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist und gegen Null konvergiert, das wiederum heißt das sich die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ an nen Grenzwert annähert und damit konvergent ist, und man so den potentiellen Grenzwert annehmen kann.

Allerdings schaffe ich es immer noch nciht Tipp3 zu zeigen.

25.11.2006, 17:51

bonn_tobias

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ich weiß leider nicht genau, worauf das alles hinausläuft, hab jetzt eben die 3 nochmal abzuschätzen probiert indem ich tipp 2 irgendwie angewandt hab, klappt leider nicht so recht. aber man soll da doch sicher zeigen, dass der abstand von a_n zu x immer kleiner ist als der von a_(n-1), wenn man das hat, muss man ja für den konvergenzbeweis nur noch ein folgenglied finden für ein epsilon und ist dann fertig... aber erstmal muss man das schaffen Augenzwinkern

25.11.2006, 19:17

Dr4gonclaw

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so mein ich das auch,

aber ist hier niemand der uns mal helfen kann tipp3 herzuleiten?

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