Cavalieri und Induktion

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hä? Auf diesen Beitrag antworten »
Cavalieri und Induktion
Hallo an alle!

Hab leider beim Thema "Fubini" und "Cavalieri" nicht genug verstanden um diese Aufgabe zu lösen:

Sei A teilmenge kompakt, , also positiv und größer 0
und

Zeigen Sie (etwa mit dem Prinzip von Cavalieri und Induktion):



Ich hab leider keinen Plan wie ich das machen könnte unglücklich

Hat jemand vielleicht einen Tipp für mich?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cavalieri und Induktion
Wenn du das Prinzip des Cavalieri hier anwenden sollst, müsstest du es dir zunächst anschauen. Wie habt ihr das formuliert ? (ich frage das, weil es die Voraussetzung zu dieser Aufgabe ist)

Grüße Abakus smile
hä? Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cavalieri und Induktion
unter "Prinzip von Cavalieri" haben wir ungefähr folgendes gehabt:

Sei A Teilmenge kompakt.
dann ist

Aber das versteh ich auch nicht...
Wie soll ich das auf diese Aufgabe anwenden?
hä? Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cavalieri und Induktion
Also ich hab mich jetzt etwas damit beschäftigt und folgendes rausbekommen:



Für die charakteristische Funktion gilt demnach:



also

Damit sieht man schon, dass die Formel für n=1 gilt:



Nach Cavalieri müsste jetzt gelten:



Hier komm ich aber nicht mehr weiter...

Wir haben als Tipp bekommen, dass irgendwo das Integral: auftaucht.

Kann jemand damit was anfangen?
hä? Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cavalieri und Induktion
Ich hab gerade was im Forster 3 gefunden:

"Beispiel für Berechnung eines Volumens:
Sei A Teilmenge ein Kompaktum und . Bezeichnet rA das Bild von A unter der Homothetie , so gilt:



Dies folgt daraus,dass die Determinante der linearen Abbildung gleich ist. "

Also das ist zwar kein Beweis durch Induktion, aber das ist ja genau die Aufgabe, die ich brauche.
Kann das jemand nachvollziehe? Was muss ich noch zeigen damit die Aufgabe als gelöst angesehen werden kann?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cavalieri und Induktion
Mit dem Transformationssatz hast du das Ergebnis natürlich sofort (die Determinante ist ).

Bloß die Aufgabe würdest du dann nicht lösen (Anwendung von Cavalieri).

Kannst du hierauf nicht die Induktionsvoraussetzung anwenden (?):

Zitat:
Nach Cavalieri müsste jetzt gelten:



Grüße Abakus smile
 
 
hä? Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cavalieri und Induktion
ja gut, wenn ich den Induktionsschritt mache, dann steht da:



aber hier taucht nirgendswo das r auf...
Was bringt mir das? Irgendwie krieg ich hier nicht den Bogen zu einer vernünftigen Induktion...
verwirrt
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cavalieri und Induktion
Zitat:
Original von hä?
ja gut, wenn ich den Induktionsschritt mache, dann steht da:



Da sehe ich nicht, wo das herkommt. Mein Versuch sieht so aus:



Jetzt folgt eine Substitution des und nochmals Cavalieri.

Grüße Abakus smile
hä? Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cavalieri und Induktion
Danke Abakus! meinst du das hier (?):
Substitution: y=x/r, also dx=rdy


und nach Cavalieri müsste das rauskommen:



oder geht das so nicht?
Ich frag mich dann auch warum mir gesagt wurde, dass hier irgendwo das Integral : auftauchen soll.

Hmm, irgendwas scheint hier noch nicht ganz in Ordnung zu sein...

MfG hä?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cavalieri und Induktion
Zitat:
Original von hä?
Substitution: y=x/r, also dx=rdy


und nach Cavalieri müsste das rauskommen:



Ja, so dachte ich mir das.


Zitat:
Ich frag mich dann auch warum mir gesagt wurde, dass hier irgendwo das Integral : auftauchen soll.


Das könnte ein anderer Ansatz (?) mit Polarkoordinaten sein. Hier bezeichnet das r dann die Variable r (und nicht den konstanten Faktor r aus der Funktion f).

Grüße Abakus smile
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