Dimension des Kerns einer linearen Abbildung |
| 24.01.2011, 13:08 | allahahbarpingok | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Dimension des Kerns einer linearen Abbildung ich bins wieder mal! Ich habe an einer Aufgabe rumgerechnet und bin auf folgenden Kern einer linearen Abbildung gekommen. Es sei vorausgesetzt, dass dieser von mir richtig bestimmt wurde: Es soll nun die Dimension und Basis des Kerns(L) bestimmt werden. Spontan dachte ich an die Dimension 4, da offensichtlich der Kern unendlich viele Lösungen enthält und dann R^4 aufspannt? Es reicht 4 linear unabhängige Vektoren aus R^4 zu finden? |
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| 24.01.2011, 13:18 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Dimension des Kerns einer linearen Abbildung
Da sind eine Menge Denkfehler drin. Stimmt, im Kern liegen unendlich viele Vektoren. Deswegen muss aber die Dimension noch lange nicht 4 sein. Das eine hat mit dem anderen nichts zu tun. Schon gar nicht wird der ganze R^4 aufgespannt. Schau dir zum Beispiel mal den Vektor (1,1,1,1) an, liegt der im Kern? Ist dir der Begriff "Dimension" wirklich klar oder gibt es da noch Schwierigkeiten? Wie hängen die Begriffe Dimension und Basis denn zusammen? In deinem Kern tauchen in jedem Vektor ja nun zwei Unbekannte auf, das q und das t. Versuch doch mal, einen solchen Vektor als Linearkombination von Vektoren darzustellen, in denen jeweils nur eine Unbekannte steht. Denn dann hättest du eine Basis des Kerns und könntest die Dimension ablesen. |
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| 24.01.2011, 13:20 | dr.morrison | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, nein, so einfach ist es nicht, eigentlich noch viel einfacher: Spalte doch mal in deinem Vektor nach q*(-2,1,0,0)+ t*(1,0,2,1) auf. Du siehst, dass diese beiden Vektoren (-2,1,0,0) und (1,0,2,1) den Kern aufspannen und linear unabhängig sind. Damit hat, da dies 2 linear unabhängige Vektoren sind, der Kern Dimension 2. Die Basisvektoren hast du ganz natürlich schon. Hoffe, dass dies weitergeholfen hat. lg, dr.morrison |
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| 24.01.2011, 13:36 | allahahbarpingok | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jop, ich habe es jezt erfolgreich lineaer kombiniert und dann die 2 Vektoren auf lineare unabhängigkeit getestet mit LGS. Es handelt sich tatsächlich um eine Basis, folglich ist die Dimension 2. Coole Sache und Danke. Hier nochmal die Basis des Kerns: |
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| 24.01.2011, 13:50 | allahahbarpingok | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was wäre eine weitere Basis für den Kern? Ich sehe gerade ich soll eine weitere Basis angeben. Die Dimension der Basis ist 2, kann ich daraus folgern, dass IR^2 aufgespannt wird? Immerhin sind die Vektoren in der Basis 4er-Tupel? Wenn dies nicht gehen sollte, dann würde ich versuchen, die Menge einmal mehr linear zu kombinieren? edit: Okay, ich bin soweit sagen zu können, dass R^2 definitiv keine weitere Basis für den Kern ist. Was bleibt ist die Linearkombination zu erweitern? |
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| 24.01.2011, 15:47 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Dimension des Kerns einer linearen Abbildung
Das sind doch ziemlich wirre Gedankengänge und Formulierungen. Wie befinden uns hier im R^4, was hat denn der R^2 damit zu tun? Außerdem ist nicht die Dimension der Basis 2, sondern die Dimension des Kerns vom R^4.
Wie sollte der gesamte R^2 auch eine Basis bilden? Noch dazu wie gesagt für eine Teilmenge des R^4? |
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| 24.01.2011, 16:08 | allahahbarpingok | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Moment, mir geht es um die Dimension der Basis des Kerns(L). Diese ist doch 2 oder irre ich mich? Denn sie Basis des Kerns(L) besteht aus 2 Elementen. Jetzt soll ich also eine weiter Basis für den Kern(L) angeben. Die Frage ist jetzt, wie finde ich solch eine? Ich verstehe somit deine Frage nicht ganz. |
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| 24.01.2011, 16:14 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Dimension des Kerns einer linearen Abbildung
Die Dimension des Kerns ist 2. Du hast aber geschrieben, die Dimension der Basis selbst ist 2. Eine Basis hat keine Dimension. Die Anzahl der Elemente der Basis entspricht der Dimension des zugehörigen Vektorraums. Vielleicht meintest du das richtige, aber ich wollte dich auf die fehlerhafte Formulierung eben hinweisen. Ich finde die Aufgabe, hier eine andere Basis anzugeben, ziemlich merkwürdig. Denn wirklich sinnvoll geht das eigentlich gar nicht. Natürlich könnte man beliebige Vielfache der Basisvektoren konstruieren, das bleibt dann ja immer noch eine Basis. Mehr kann man hier fast nicht machen. Oder ich sehe es einfach nur nicht. Oder man vertauscht einfach die beiden Basisvektoren, Basen sind ja im Allgemeinen geordnet. 
Ansonsten wäre es schon richtig, andere Linearkombinationen zu finden, das hattest du ja schon vorgeschlagen. Hier geht da nur eben nicht viel. |
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| 24.01.2011, 16:31 | allahahbarpingok | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, die Idee beliebige Vielfache zu konstruieren finde ich simpel und effektiv. Wäre ich nicht drauf gekommen, dass immer noch die gleiche Vektorenmenge entsteht! Hast du zufällig einen Beweis parat? :p Das finde ich doch schon sehr erstaunlich. edit: Also, ich denke man kann es sich ganz einfach erklären indem man sich klar macht, dass man neue Menge eine Linearkombination der alten ist. Und sich somit nicht ändern konnte. Ist natürlich kein formaler und insbesondere schlampiger Beweis. Aber er trifft wohl den Nagel auf den Kopf. (Wie war das? 
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| 24.01.2011, 16:45 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Dimension des Kerns einer linearen Abbildung
Lies dir den Satz nochmal durch. Der ist allein grammatikalisch schon eine Katastrophe, oder?
Die Idee ist einfach die: Wir wissen, dass die Dimension des Kerns 2 ist. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Wir brauchen also, um eine Basis des Kerns zu haben, zwei linear unabhängige Vektoren, die beide im Kern drin liegen. Wegen weiß man dann eben auch, dass das ein Erzeugendensystem sein muss. So kann man das dann sofort zeigen. Von der Idee her hast du das aber wohl durchschaut (ist ja auch nicht gerade ein Geniestreich, das ist wirklich sehr banal). |
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