lokale Ringe

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
lokale Ringe
Meine Frage:
Ein Ring R heißt lokal, falls R genau ein maximales Ideal besitzt.

Zeigen Sie:

(i) R ist lokal genau dann, wenn die Nichteinheiten ein Ideal in R bilden.

(ii) , p Primzahl, ist lokaler Ring.

(iii) Der Ring der formalen Potenzreihen ist lokaler über einem Körper ist lokal.

Meine Ideen:
Zu (i)

Vorüberlegung:
Jedes Ideal besteht aus Nichteinheiten, denn andernfalls würde gelten: Ist x Einheit in J, so ist , d.h. J=R.

Sei I die Menge der Nichteinheiten.

Ich finde nun die Rückrichtung nicht schwer zu zeigen:

Nach Voraussetzung ist I ein Ideal. 1. Behauptung: I ist maximal: Sei J ein Ideal mit . Ein ist eine Einheit, d.h. nach der Vorüberlegung ist J=R.
2. Behauptung: I ist das einzige max. Ideal: Nach der Vorüberlegung enthält I jedes andere Ideal, für das gilt . Wenn dieses maximal ist, so ist es gleich I.

Probleme bereitet mir die Hin-Richtung:

Sei V das einzige maxmale Ideal. Dann gilt . Wie könnte man weiter machen??


Zu (ii) Wenn (i) bewiesen ist, so muss man doch einfach die Nichteinheiten ausfindig machen. Das sind meiner Ansicht nach alle Elemente in dem gegebenen Ring. [Wenn ich z.B. nehme, so ist doch kein Element in diesem Ring invertierbar. Sehe ich das korrekt?] Außerdem ist dieser Ring doch ein Ideal bzgl. . Also bilden die Nichteinheiten ein Ideal, womit die Behauptung folgt?


Wäre nett, wenn einer mir zu (i) Hin-Richtung und (ii) helfen könnte.


Bei (iii) überlege ich noch,.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, sei für (i) "" lokal und unser maximales Ideal. ist klar. Um zu zeigen, brauchst du die Tatsache, dass in einem Ring jede Nichteinheit in einem maximalen Ideal liegt, was aus dem Lemma von Zorn folgt.

Zu (ii): Ich kann mir kaum vorstellen, dass du wirklich meinst, das ist nämlich kein Ring. Jedoch ist schon einer, sogar lokal mit maximalem Ideal , was da natürlich, so dies denn deine eigentliche Aufgabenstellung ist, nachweisen musst.

(iii) sollte auch nicht so schwer sein, wenn man weiß.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Hallo, sei für (i) "" lokal und unser maximales Ideal. ist klar. Um zu zeigen, brauchst du die Tatsache, dass in einem Ring jede Nichteinheit in einem maximalen Ideal liegt, was aus dem Lemma von Zorn folgt.

Zu (ii): Ich kann mir kaum vorstellen, dass du wirklich meinst, das ist nämlich kein Ring. Jedoch ist schon einer, sogar lokal mit maximalem Ideal , was da natürlich, so dies denn deine eigentliche Aufgabenstellung ist, nachweisen musst.

(iii) sollte auch nicht so schwer sein, wenn man weiß.


Danke für die Hinweise!

Ich versuche mal, das einzuarbeiten. (i) : Sei m das einzige maximale Ideal, d.h. R lokal. Dann ist . Für jedes (I wie oben) gilt , da . (x) liegt in einem maximalen Ideal, also in m n.V., d.h. . Da besteht nach der obigen Vorüberlegung m aus Nichteinheiten, d.h. , somit ist I=m ein Ideal.


Das wäre mein Versuch zu (i).


Bei (ii) hast Du Recht, da habe ich falsch übertragen.
Ich überlege die ganze Zeit, was hier die Nicht-Einheiten sind, komme aber gerade nicht darauf.

Ebenso bei (iii).

Vielleicht fällts mir noch auf.

EDIT:

Bei (ii) bin ich darauf gekommen, dass immer nur das Element Nichteinheit ist. Und das Nullelement ist doch ein Ideal. [korrekt?]
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, wenn ich mit meiner Behauptung zu (ii) Recht habe, sind die Nichteinheiten wohl die Elemente des von erzeugten Ideals.
Das kann man so herausfinden, dass ein genau dann invertierbar ist, wenn .

In (iii) kann man auch leicht aus der Menge der Einheiten die Menge der Nichteinheiten ablesen, es gilt nämlich und somit .
Wegen (i) musst du hier also nur nachrechnen, dass diese Menge ein Ideal ist.
Wenn du Lust hast, kannst du auch hier zeigen, dass das einzige maximale Ideal gerade ist.

Edit:
Zitat:
EDIT:

Bei (ii) bin ich darauf gekommen, dass immer nur das Element Nichteinheit ist. Und das Nullelement ist doch ein Ideal. [korrekt?]


Wenn dem so wäre, dann wäre ja ein Körper, das ist jedoch für falsch; ist dann ein Nullteiler.

Edit 2: Siehe oben
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss ganz ehrlich sagen, dass ich dann nicht verstanden habe, was Du bei (ii) und (iii) meinst.

Ich werde darüber nochmal nachdenken, aber momentan verstehe ichs nicht.


Was ist denn das von p erzeugte Ideal?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Für einen kommutativen Ring (darauf beschränken wir uns hier mal) mit ist , das ist insbesondere das selbe wie das, was du hier verwendest (mit einelementigen Mengen, die oder deren ggT enthalten. Insbesondere ist das kleinste Ideal, das enthält.

Wir sollten uns vielleicht zuerst mal ausschließlich mit (ii) befassen. Was genau verstehst du denn nicht?
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde verstehe ich "nur" nicht, wie Du darauf kommst, dass die Einheiten die Elemente des von p erzeugten Ideals sind.


Ich muss es mir an einem Beispiel verdeutlichen, denke ich.

Dafür nehme ich z.B. , also n=1, p=3.

Dann gilt doch .

Und für die Einheiten gilt ja

Nun gibt es meiner Meinung nach für keine der Elemente 0,1,2 ein anderes Element in der Menge, sodass ab=ba=1.

z.B. 2*1=2 usw.

Demnach bestünde diese Menge nur aus Nichteinheuiten.

Ist das korrekt?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, in einem Ring mit 1 gibt es immer mindestens eine Einheit, nämlich die 1.
Hier, in ist außerdem 2 invertierbar, . Also ist , ist insbesondere ausschließlich im Nullring invertierbar, der jedoch kein Ring mit 1 ist.
Das Problem besteht, wie gesagt, bei , z.B. in , wo ein Nullteiler () und damit Nichteinheit ist.
Allgemein sollte dir bekannt sein, dass eine Zahl genau dann modulo ein Inverses besitzt, wenn . Das ist alles, was ich benutzt habe.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei meinem Beispiel wäre also 0 die Nichteinheit.

Allgemein kann man es aber nicht sagen.

Allgemein muss man mit der ggT-Sache darüber nachdenken?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, in deinem Fall ist nur 0 die Nichteinheit, da bekanntlich ein Körper ist (hier ist p mit jeder Primzahl austauschbar).

Doch, man kann das für Ringe ganz genau sagen, das tue ich doch die ganze Zeit.

Und ja, wie ich sagte, das ist das Kriterium, mit dem man arbeiten muss. Hast du noch nie Modulo-Rechnung gesehen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, habe ich schon gesehen.
Aber ich bin nicht so gut in meinem Studium.

Ich muss nochmal darauf zurückkommen, entschuldige bitte:


Deswegen sei bitte nicht schockiert über die Blödheit meiner Fragen.


mit

Beispiel: p=2, n=2

und als modulo 4:



Und Deine Aussage war nun, dass die Elemente hiervon die Einheiten sind.
Und genau DAS verstehe ich nicht. Denn wie kommt das hin?

unglücklich
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige bitte, ich habe oben Einheiten und Nichteinheiten durcheinander geschmissen, kein Wunder, dass das jetzt verwirrend war. Du hast Recht, ist die Menge der Nichteinheiten im Ring .
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Deine Hilfe.
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