Unklar: Grenzwert sin(x)*ln(x)

24.01.2011, 14:06

zaengi

Unklar: Grenzwert sin(x)*ln(x)

Hi zusammen!

Folgende Aufgaben, gesucht ist der Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0^+}sin(x) * ln(x) \end{eqnarray*}$

Zuerst habe ich eine Verständnisfrage: üblicherweise untersuchen wir Funktionen, die gegen Unendlich laufen. In diesem Fall soll der Grenzwert untersucht werden, der im positiven Bereich gegen 0 geht. Sehe ich das so richtig?

Jetzt zu meinen Ansätzen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0^+}sin(x) * ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to 0^+}sin(x) * \lim_{n \to 0^+}ln(x) \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass Sinus im Reellen beschränkt ist. Und der zweite Grenzwert läuft gegen minus Unendlich. Jetzt bin ich mir aber nicht sicher bezüglich des 0+ in der Aufgabe. Würde es heißen, dass sin(x) gegen Null und ln(x) ja gegen minus Unendlich läuft, daher die Gesamtlösung Null wäre? Kann ich so überhaupt vorgehen, auch wenn ein Term einen uneigentlichen Grenzwert hat?

Danke für eure Hilfe smile

24.01.2011, 14:11

Manni Feinbein

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RE: Unklar: Grenzwert sin(x)*ln(x)
So

$\begin{eqnarray*} \sin(x)\ln(x)=\frac {\sin(x)}xx\ln(x) \end{eqnarray*}$

kannst Du Dich des Sinus entledigen.

24.01.2011, 14:35

René Gruber

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RE: Unklar: Grenzwert sin(x)*ln(x)

Zitat:

Original von zaengi
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0^+}sin(x) * ln(x) = \lim_{n \to 0^+}sin(x) * \lim_{n \to 0^+}ln(x) \end{eqnarray*}$

Schau mal bei den Grenzwertregeln nach: Eine solche Zerlegung ist nur statthaft, wenn beide Grenzwerte rechts existieren. Und "existieren" ist da im strengen Sinn gemeint, also als endlicher Wert. Man kann das ja ruhig spekulativ erstmal annehmen, aber im weiteren Verlauf muss diese Existenz dann auch tatsächlich nachgewiesen werden (sonst ist diese Zerlegung hinfällig). Also wie es im Fall der Zerlegung von Manni Feinbein dann ja auch klappt.

24.01.2011, 19:02

zaengi

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Danke schon mal smile

Die Idee von Manni Feinbein ist gut, dann kann ich ja so vorgehen, wie ich es geschrieben hatte, auch wenn dies dann wohl eher Zufall war, wie es bei René steht Augenzwinkern

Jedenfalls heißt es dann ja, dass ich immer noch die Grenzwerte 0 und minus Unendlich habe, d.h., dass der gesuchte Grenzwert 0 ist? So ganz blicke ich leider immer noch nicht durch.

24.01.2011, 19:38

leithian

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Hi,

der Witz dabei ist, dass sin(x)/x -> 1 (l'hospital) und x ln(x) -> 0 (Potenzreihe oder Ordnungsargument).

mfg

25.01.2011, 11:10

zaengi

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Ok, die Zerlegung ist nun klar, nun noch eine Abschlußfrage:

Kann ich das Ganze wie folgt schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0^+}sin(x) * ln(x) = \lim_{n \to 0^+}\frac {\sin(x)}xx\ln(x) = 0 * -\infty = 0 \end{eqnarray*}$

Würde das so in Ordnung gehen?

25.01.2011, 11:17

Manni Feinbein

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Es ist immer ungünstig mit einem Limesausdruck zu starten, dessen Existenz noch völlig unklar ist.

Zeige besser zunächst die Grenzwerte

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}x\text{ und }\lim_{x\to 0}x\ln(x). \end{eqnarray*}$

Dann kannst Du mit den Grenzwertsätzen folgern.

28.01.2011, 13:24

zaengi

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Sry, die Antwort kommt ein bisschen spät, aber Danke, werde deine/eure Tipps demnächst berücksichtigen smile

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